2.7. Початкові і центральні теоретичні моменти

Розглянемо д. в .в. , задану законом розподілу:

Знайдемо математичне сподівання:

М=1

Закон розподілу

.

Бачимо, що М значно більше М. Це пояснюється тим, що після піднесення до квадрата можливе значення величини яке відповідає значенню х=100 величини , стало рівним 10000, тобто значно збільшилося; імовірність цього значення залишилась. Таким чином, перехід від М до М дає можливість краще врахувати вплив на математичне сподівання того можливого значення, яке досить велике і має малу імовірність.

Якби мала декілька великих і малоймовірних значень, то перехід до , а тим більше , , дав можливість ще більше «врахувати вклад» цих великих, але малоймовірних значень.

Тому важливо розглядати математичне сподівання цілого додатного степеня випадкової величини (не тільки дискретної, але й неперервної).

Взагалі, початковий момент (starting point) порядку k випадкової величини визначається як математичне сподівання величини:

.

Для дискретної випадкової величини: .

Для неперервної випадкової величини: =,

так                               , .

Користуючись цими моментами, формулу для обчислення дисперсії можна записати

Крім моментів в. в. розглядаються моменти відхилення .

Центральним моментом порядку k в. в. називають математичне сподівання центрованої випадкової величини Значить, =М=0, = М=.

Легко одержуються співвідношення, які з’єднують початкові і центральні моменти:

Використовуючи означення центрального моменту та властивості математичного сподівання, отримаємо формулу:

Третій центральний момент дає характеристику асиметрії (скошеності) розподілу (рис. 2.6, а; б). Якщо випадкова величина розподілена симетрично відносно свого математичного сподівання, то третій центральний момент = 0.

Третій центральний момент має розмірність кубу випадкової величини, тому звичайно розглядають безрозмірну величину – відношення до середнього квадратичного відхилення в третьому степені.

,  коефіцієнт асиметрії.

Четвертий центральний момент є характеристикою гостровершинності або плосковершинності розподілу. Ці властивості розподілу описуються за допомогою так званого ексцесу.

Ексцесом (the kurtosis) називається величина С=.

Число 3 випливає із співвідношення тому, що для найбільш розповсюдженого нормального розподілу (з яким ми ознайомилися пізніше)

                         .

Крива нормального розподілу, для якого ексцес дорівнює нулю, прийнята за еталон, з яким порівнюють інші розподіли. Криві більш гостровершинні мають додатний ексцес, криві більш плосковершинні мають від’ємний ексцес (рис. 2.7).

Крім розглянутих початкових і центральних моментів на практиці застосовуються абсолютні моменти.

Абсолютний початковий момент =М(.

Абсолютний центральний момент .

Абсолютні моменти парних порядків збігаються зі звичайними моментами. Перший абсолютний центральний момент називається середнім арифметичним відхиленням, характеризує розсіювання в. в.

Значення в. в. , при якому густина розподілу має найбільше значення, називається модою і позначається М.

Мода може як збігтися, так і не збігтися з математичним сподіванням. Число, яке позначається М, називається медіаною, якщо воно задовольняє рівність:

; а значить

Якщо неперервна випадкова величина може приймати значення тільки на скінченному проміжку , то математичне сподівання обчислюється за формулою, наведеною нижче.

Цю формулу можна вважати узагальненням формули для дискретної випадкової величини. Дійсно, розіб’ємо відрізок на інтервали . В кожному з інтервалів візьмемо точку . Розглянемо допоміжну дискретну випадкову величину яка приймає значення: . Нехай імовірності відповідних значень д. в. в. будуть Р…, Р

, , …, , … .

відповідні елементи імовірності.

Математичне сподівання даної дискретної величини : ,

або

Переходячи до границі при maх , одержимо:

Вираз, який стоїть справа, є математичне сподівання неперервної випадкової величини х, яке може прийняти довільне значення з відрізка . Аналогічні міркування можна привести і для нескінченного інтервалу. Математичне сподівання є центр розподілу імовірності н. в. в. Якщо f(х) парна, тобто симетрична відносно Оу, то М=0. Центр розподілу імовірності збігається з початком координат. Для центрованої в. в. математичне сподівання дорівнює нулю:

Питання для самоперевірки

1. Дайте означення дискретних і неперервних випадкових величин. В чому різниця між ними?

2. Що називається функцією розподілу? Які вона має властивості?

3. Яким чином було вперше введено функцію розподілу?

4. Який зв'язок між диференціальною та інтегральною функціями розподілу?

5. Основне означення і властивості математичного сподівання та дисперсії. Середнє квадратичне відхилення. Хто вперше сформулював означення математичного сподівання?

6.  Дайте означення початковому моменту.