3.2. Рівномірний розподіл для неперервних випадкових величин

В деяких задачах зустрічаються неперервні випадкові величини, про які відомо, що їх можливі значення знаходяться в межах певного визначеного інтервалу. Крім того відомо, що в межах цього інтервалу всі значення в. в. однаково імовірні (точніше мають одну і ту ж густину ймовірності). Про такі випадкові величини кажуть, що вони розподілені за законом рівномірної щільності (law of uniform density).

Приклад 1. Відбувається зважування на точних терезах; одна поділка дорівнює 1 г; результат зважування показує, що вага знаходиться між k і k+1 грамами. Вага тіла приймається рівною k + г. Похибка при зважуванні (випадкової величини) є випадковою величиною, розподіленою з рівномірною щiльністю на відрізку [; ].

Приклад 2. Поїзди метрополітену їдуть з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу в деякий момент часу. Час Т, протягом якого йому потрібно чекати поїзд, є випадковою величиною, розподіленою з рівномірною щiльністю на відрізку [0; 2] хвилин.

Приклад 3. Обертне симетричне колесо зупиняється внаслідок тертя. Кут , утворений деяким фіксованим рухомим радіусом колеса з нерухомим радіусом після зупинки колеса, є випадкова величина з рівномірною щільністю розподілу на відрізку [0; 2?].

Розподіл імовірностей називають рівномірним, якщо на інтервалі, до якого належать всі можливі значення випадкової величини, густина розподілу зберігає стале значення С при х. Знайдемо сталу С. Оскільки всі можливі значення випадкової величини містяться на інтервалі (а, в) і f(х)=0 при хі х, то має виконуватись співвідношення:

або і с=.

Отже, щільність ймовірності рівномірного розподілу, зображена на (рис. 3.1, а), запишеться аналітично так:

Знайдемо функцію розподілу рівномірно розподіленої на [а, b] випадкової величини:

1. Для х,

2. Для а ,

3. Для х > b, .

На (рис. 3.1, б) зображено функцію розподілу рівномірно розподіленої на [а, b] випадкової величини.

Визначимо основні числові характеристики в. в. , яка підлягає закону рівномірного розподілу на відрізку . Математичне сподівання дорівнює:

М .

В силу симетричності рівномірного розподілу медіана дорівнює .

При рівномірному законі розподілу мода відсутня.

Дисперсія дорівнює :           D.

М( .

.

.

Середнє квадратичне відхилення: .