6.5. Довірчий інтервал. Довірча ймовірність

При статистичній обробці даних часто вимагається не тільки знайти для параметра а відповідне числове значення, а й оцінити його надійність і точність. Ця задача важлива при малій кількості спостережень, оскільки точкова оцінка в значній мірі є випадковою і наближена заміна а на може призвести до серйозних похибок.

Для визначення точності оцінки в математиці користуються довірчими інтервалами, а для визначення надійності – довірчою імовірністю. Розкриємо суть цих понять. Нехай для параметра а отримана з випробування незміщена оцінка . Потрібно оцінити можливу при цьому помилку. Задаємо деяку вірогідність β (наприклад β=0,9) і знайдемо таке значення ξ >0, для якого . Або ще можна записати так: . Остання рівність означає, що невідоме значення параметра а з імовірністю β потрапить в інтервал . Тут невідоме значення параметра а є невипадковою величиною, а інтервал є випадковою величиною, оскільки положення інтервалу на осі залежить від випадкової величини (центр інтервалу). Тому вказана вище імовірність трактується як імовірність того, що випадковий інтервал накриє точку а.

Інтервал називається довірчим інтервалом, а імовірність β – довірчою імовірністю або надійністю β, що відповідає даному довірчому інтервалу .

Розглянемо задачу про довірчий інтервал для математичного сподівання.

Нехай проведено n незалежних випробувань над випадковою величиною ξ з невідомим математичним очікуванням Мξ і дисперсією Dξ_. На основі дослідних даних отримаємо незміщені оцінки:

.

Потрібно побудувати довірчий інтервал , який відповідає довірчій імовірності β для математичного сподівання випадкової величини ξ. Оскільки являє собою суму n незалежних однаково розподілених величин ξ_і, то, згідно з центральною граничною теоремою, її закон розподілення близький до формального. Користуючись властивостями математичного сподівання і дисперсій:

Тепер знайдемо :. Враховуючи те, що закон розподілу випадкової величини близький до нормального, виразимо ймовірність β в лівій частині через функцію Ф:

.

З останнього рівняння                (6.8)

де  функція, обернена до Ф, виражається через невідому нам дисперсію Dξ  , тому за її значення можна взяти оцінку і подати приблизно . Таким чином, довірчий інтервал для математичного сподівання , де визначається з формули (6.8).

Приклад. Проведено 20 дослідів над величиною ξ . Результати наведені в таблиці:

Потрібно знайти оцінку для математичного сподівання величини ξ і побудувати довірчий інтервал, який відповідає довірчій ймовірності β=0,86.

Розв’язання. Маємо . Використовуючи формулу для оцінки дисперсії, знайдемо

.

За формулою знайдемо значення ε_β:

.

Границі довірчого інтервалу:

Довірчий інтервал: