Повна похибка є результатом складної взаємодії всіх видів похибок. При розв’язку конкретних задач ті або інші похибки можуть бути відсутні або мало впливати на утворення повної похибки. Але для повного аналізу похибок необхідно враховувати всі їх види.

У всіх випадках повна похибка не може перевищувати по своїй абсолютній величині суми абсолютних величин всіх видів похибок, але звичайно вона рідко досягає такої максимальної величини.

Таким чином, похибки можна розділити на три великі групи:

Оцінка похибки може бути виконана за допомогою:

При роботі з наближеними величинами необхідно вміти:

     1.2 Абсолютна і відносна похибки

Якщо а<А, то говорять, що число а є наближеним значенням точного числа А з недостачею; якщо а>А - наближеним значенням з надлишком.

Абсолютна величина різниці між точним числом А і його наближеним значенням а називається абсолютною похибкою наближеного числа а.

                              (1.1)

Якщо точне число А відомо, тоді абсолютна похибка наближеного числа легко знаходиться по формулі (1.1).

Приклад. Нехай відомо точне число А=784,2737, а його наближене значення a=784.274; тоді абсолютна похибка

.

Якщо точне число А невідомо і обчислити абсолютну похибку за формулою (1.1) неможливо, то в таких випадках користуються поняттям про границю абсолютної похибки, що задовольняє нерівності

     .                         (1.2)

Число, яке перевищує абсолютну похибку (або в крайньому випадку дорівнює їй) називається граничною абсолютною похибкою . Отже, якщо - гранична абсолютна похибка та - абсолютна похибка, то:

     .                    (1.3)

Значення точного числа А завжди знаходиться в межах:

                    (1.4)

Вираз є наближене значення числа А з недостачею, а - наближене значення числа А за надлишком. Точне значення числа А записується так:

                         (1.5)

Приклад 1. Якщо довжина відрізка l=184 см виміряна з точністю до 0.05 см, то пишуть l=184 0.05 см, де l= 0.05см, а точна значення довжини відрізка l знаходиться у наступних границях: 183.95 см l 184.05 см.

Але по абсолютній і граничній абсолютній похибкам неможливо зробити висновок про те, яке вимірювання проведено точніше. Розглянемо приклад.

Приклад 2. Нехай при вимірюванні книжки і довжини стола були одержані результати: (см) і (см). І в першому, і в другому випадку гранична абсолютна похибка складає 0,1 см. Але друге вимірювання було проведено більш точніше, ніж перше. Для того щоб визначити якість виконаних вимірів, необхідно визначити, яку долю складає абсолютна або гранична абсолютна похибка від вимірюваної величини. В зв’язку з цим вводиться поняття про відносну похибку.

Відносною похибкою наближеного числа а називається відношення абсолютної похибки до модуля точного числа А (А0), тобто

,                              (1.6)

звідки

     .                         (1.7)

Число , яке перевищує відносну похибку, називається граничною відносною похибкою :

.                              (1.8)

Із співвідношень (1.6) і (1.8) слідує, що

.

Із визначення граничної відносної похибки слідує, що . Тоді:

     ,                         (1.9)

і за гранично-відносну похибку наближеного числа а можна прийняти

                              (1.10)

Враховуючи, що точне значення А в багатьох випадках невідомо, рівняння (1.8) і (1.9) можна записати так:

                              (1.11)

                              (1.12)

Повертаючись до прикладу 2, знайдемо гранично-відносні похибки вимірів книги та столу :

, або 0,35%

, або 0,09%

Таким чином, вимір стола був проведений найбільш точно. Очевидно, що як відносна похибка, так і гранична відносна похибка являють собою числа, не залежні від одиниць, в яких виражаються результати вимірів.

Приклад 3. Визначити (в процентах ) граничну відносну похибку наближеного числа а = 35,148 ± 0,00074

Розв‘язок. Використаємо формулу (1.11). Тоді:

Приклад 4. Визначити, яка рівність точніша:  = 13/19  0,684 або  =  7,21

Розв‘язок. Для знаходження граничних абсолютних похибок беремо числа і з великим числом десяткових знаків: 13/19  0,68421;   7,2111. Визначаємо граничні абсолютні похибки, заокруглюючи їх з надлишком:

;

.

Знаходимо граничні відносні похибки:

;

.

Друга рівність являється більш точною, оскільки .

Приклад 5. Число 45,3 отримано округленням. Точне значення числа невідомо, однак, користуючись правилами округлення чисел, можна сказати, що абсолютна похибка не перевищує менше чи дорівнює 0,05.

Отже границею абсолютної похибки (граничної абсолютної похибки) можна вважати 0,05. Записують це так: 45,3±0,05 означає те ж саме. Подвійний знак ± означає, що відхилення наближеного значення числа від точного можливо в обидва боки. Як границю абсолютної похибки беруть по можливості найменше число.

     1.3 Десятковий запис наближених чисел. Значуща цифра числа. Дійсна значуща цифра

Системою числення називається сукупність правил, які необхідні для найменування і позначення чисел. Цифрами називаються умовні знаки, що використовуються при позначені чисел. При запису чисел у десятковій системі числення користуються десятьма цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Десяткова система є позиційною: значення кожної цифри у числі залежить від її положення серед інших цифр цього числа.

В десятковому числі одиниця кожного розряду дорівнює десяти одиницям попереднього розряду. Взагалі, всяке десяткове позитивне число а може бути представлено у вигляді кінцевого або нескінченного десяткового дробу:

,               (1.13)

де     - цифри числа (і = 1, 2, ... , n), m- старший десятковий розряд числа а.

Значення одиниці відповідного розряду є ціна розряду.

При розв’язку задачі дуже часто ставиться умова: обчислити результат з точністю до одної десятої, одної сотої і т. д. Складається уява, що точність обчислень визначається числом десяткових знаків після коми. Це неправильно, оскільки число десяткових знаків залежить від одиниці, вибраної для виміру.

Значущими цифрами наближеного числа а називаються всі цифри в його десятковому зображенні, відмінні від нуля, та нулі, якщо вони є між значущими цифрами або розміщені в кінці числа і вказують на збереження розряду точності. Нулі, що стоять лівіше першої відмінної від нуля цифри, не є значущими цифрами. Наближене число а в (1.13) має n дійсних значущих чисел у вузькому смислі, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці десяткового розряду, який виражається n-значущою цифрою, читаючи зліва направо; тобто якщо виконується рівність:

.                         (1.14)

Якщо ця нерівність не виконується, то цифру називають сумнівною. Очевидно, що якщо цифра - дійсна, то і всі попередні цифри також вірні.

Таким чином, серед дійсних цифр завжди можна вказати останню. Наближене число:

містить n вірних значущих цифр в широкому смислі, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує одиниці десяткового розряду, який виражається n значущою цифрою, якщо виконується нерівність

                         (1.15)

     1.4 Зв’язок між числом дійсних знаків і похибкою числа

Абсолютна похибка наближеного числа a зв’язана з числом дійсних знаків співвідношенням:

,                         (1.16)

що слідує з означення дійсної значущої цифри. Запишемо наближене число:

,               (1.17)

де , всі цифри якого при даному виборі параметра дійсні (0,5  w  1).

Розділивши дві частини нерівності (1.16) на , отримаємо:

          (1.18)

тобто

,                         (1.19)

n – кількість дійсних значущих цифр.

За граничну відносну похибку можна прийняти.

                         (1.20)

Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числа a=4,176 якщо воно має тільки вірні цифри у вузькому змісті?

Розв‘язок. Так як в числі 4,176 усі чотири цифри вірні у вузькому змісті, то вибираємо . По формулі (1.20) знаходимо граничну відносну похибку.

.

Зауважимо, що граничну відносну похибку числа a можна знайти, використовуючи формулу . Так як в даному числі а всі цифри вірні у вузькому змісті, то . Тоді

.

Як бачимо, різниця невелика, але застосування формули (1.20) трохи спрощує обчислення .

Приклад 2. Яка гранична відносна похибка числа a=14,278 якщо воно має тільки вірні цифри в широкому змісті?

.

Розв‘язок. Тому що всі п'ять цифр числа вірні в широкому змісті, те .

Приклад 3. Зі скількома вірними десятковими знаками у вузькому змісті потрібно взяти, щоб похибка не перевищувала 0,1%?

Розв‘язок. Тут тобто маємо звідки ; ; , тобто , де n – найменший цілочисловий аргумент. Для більшої точності можна прийняти n=4.

     1.5 Похибка функції. Похибки суми, різниці і добутку

Розглянемо функцію , параметри якої являють собою наближені числа з абсолютною похибкою .

Абсолютна похибка функції визначається як сума абсолютних похибок параметрів функції помножених на вагові коефіцієнти , які характеризують швидкість зміни функції при зміні кожного параметра.

                    (1.21)

Відносна похибка може бути визначена сумою абсолютних похибок параметрів функції помножених на вагові коефіцієнти, які представляють собою модуль часткової похідної логарифма функції по відповідному параметру.

                    (1.22)

Якщо функція являє собою суму параметрів, то абсолютна похибка теж є сумою похибок:

Якщо                , то      (1.23)

Якщо функція представляє собою добуток параметрів, то і відносна похибка також представляє добуток:

Якщо                , то      (1.24)

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

Наслідок. Гранична абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел рівна сумі гранично абсолютних похибок цих чисел.

При складанні наближених чисел з різною абсолютною похибкою рекомендується діяти наступним чином:

Приклад 1. Скласти кілька наближених чисел:

У кожному з приведених чисел вірні всі значущі цифри (у широкому змісті).

Розв‘язок. Виділяємо два числа найменшої точності 204,4 і 144,2. Обидва вони визначені з точністю до 0,1. Отже, інші числа округлюються з точністю до 0,01. Округлимо і складемо ці числа. В результаті отримуємо число 374,19.

Округляючи це число до 0,1 остаточно одержимо а = 374,2. Оцінимо точність результату. Для цього знайдемо повну похибку, яка складається з трьох значень:

1) суми граничних похибок вихідних даних

2) абсолютної величини суми похибок (з обліком зі знаків) округлення

3) кінцевої похибки округлення результату

Отже,

Таким чином, переконуємося, що остаточна похибка не менше граничної абсолютної похибки найменш точного з чисел які додаються (дійсно, 0,3 > 0,01).

Приклад 2. Обчислити значення функції y=1-cosx для наступних значень аргументу: 1) х = 80°; 2) x= 1°. Підрахувати граничні абсолютну та відносну похибку результату.

Розв‘язок. 1) знаходимо: соs 80° = 0,1736 і оскільки всі цифри цього числа вірні у вузькому змісті, то . Тоді та (з точного числа, рівного одиниці, віднімається наближене число абсолютна похибка якого, не перевищує 0,00005). Отже,

Маємо

тобто,

з наведених прикладів видно, що для малих значень аргументу безпосередній розрахунок по формулі y=1-cosx дає відносну похибку порядку 25%. Для така похибка складає всього лише 0,006%.

Змінимо чисельну схему і для обчислення значень функції y=1-cosx при малих значеннях аргументу скористаємося формулою

Позначимо тоді

Але         

У результаті отримаємо (а раніше мали ). Таким чином, просте перетворення розрахункової формули дозволило одержати більшу точність.

Теорема 2. Відносна похибка добутку декількох наближених чисел, відмінних від нуля не перевищує суми відносних похибок цих чисел.

Доведення. Нехай

                         (1.25)

Для визначеності припустимо, що наближені числа позитивні і мають абсолютні похибки відповідно.

Для оцінки похибки добутку прологарифмуємо вираз (1.25):

               (1.26)

Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел (1.26) не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел, тобто

          (1.27)

Використовуючи наближену формулу

                         (1.28)

Одержимо                         (1.29)

Звідки                         (1.30)

Зазначимо, що знак модуля у виразі (1.29) виключений, тому що було прийнято, що , (і = 1, 2, ... , n).

Наслідок. Гранична відносна похибка добутку дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників

Приклад 3. Знайти добуток наближених чисел і всі цифри яких вірні.

Розв‘язок. У першому числі дві вірні значущі цифри, а в другому – п'ять. Тому друге число округляємо до трьох значущих цифр. Після округлення маємо:

звідси               

У результаті залишені дві значущі цифри, тобто стільки, скільки їх мав співмножник з найменшою кількістю вірних значущих цифр.

Приклад 4. Визначити добуток наближених чисел і і число вірних знаків у ньому, якщо всі написані цифри співмножників вірні (у вузькому змісті).

Розв‘язок. В першому числі три вірні значущі цифри, в другому - чотири; можна перемножити числа без попереднього округлення: Варто залишити три значущі цифри, тому що найменш точний зі співмножників має стільки ж вірних значущих цифр; таким чином и=713. Підрахуємо похибку:

тоді Значить добуток u має два знаки і його варто записати так:

Приклад 3. Визначити граничну відносну похибку і кількість вірних цифр добутку , де всі цифри співмножників вірні у вузькому змісті.

Розв‘язок. Обидва співмножники мають по чотири вірні цифри у вузькому змісті, тобто і . Тоді по формулі маємо

звідси слідує що добуток має три вірні цифри в вузькому змісті.

Перевіримо, чи насправді це так. Знайдемо добуток даних наближених чисел; він дорівнює . Визначимо граничну абсолютну похибку за формулою

Отримаємо Тоді

Отже, добуток має три вірні цифри в вузькому змісті.

     1.6 Обчислювальний експеримент та його основні етапи. Поняття стійкості та коректності

Звичайно метод математичного моделювання це ефективний засіб дослідження реальних інженерних об‘єктів та явищ. Але з їх ускладненням математичні моделі стають більш складними і їх дослідження вимагають величезної обчислювальної роботи. Застосування ЕОМ для розв‘язання складних прикладних задач сформувало новий спосіб проведення теоретичних досліджень на базі математичних моделей – обчислювальний (або математичний) експеримент..

В виділяють сім етапів обчислювального експерименту:

1. постановка задачі на дослідження,

2. побудова математичної моделі,

3. вибір чисельного методу розв‘язання математичної моделі,

4. розробка алгоритмів та програм,

5. тестування розроблених ПЗ на відомих моделях,

6. дослідження об‘єкта, який розглядається на ЕОМ,

7. аналіз результатів дослідження і застосування.

На першому та другому етапах вивчають суть явища або об‘єкта, що досліджується, з‘ясовують їх склад, закономірності і взаємозв‘язки окремих частин. Виділяють у явищі або об‘єкті дослідження основні і другорядні фактори. Основні фактори і закономірності досліджуваного явища записують у вигляді математичних формул. Це один з найскладніших етапів обчислювального експерименту. Складність полягає в тому, що він вимагає поєднання математичних і спеціальних знань. Тому над створенням математичної моделі працюють спільно математики і спеціалісти тієї галузі, до якої належить об‘єкт або явище, що досліджується.

Третій етап обчислювального експерименту пов‘язаний з вибором методу розв‘язування математичної моделі. Як правило, прикладні задачі описуються моделями, розв‘язання яких не можна знайти у вигляді аналітичних формул. Тоді з відомих чисельних методів підбирають найбільш ефективний. Для дослідження моделі на ЕОМ розробляють алгоритм. Слід пам‘ятати, що для однієї математичної задачі можна скласти, як правило, декілька алгоритмів. Визначення критеріїв для оцінки якості обчислювальних алгоритмів є предметом теорії чисельних методів. Основна її мета – побудова ефективних чисельних методів, які давали б можливість знаходити розв'язок поставленої математичної задачі з наперед заданою точністю з якомога меншими затратами машинного часу. Оцінюючи ефективність чисельного методу, враховують такі його характеристики, як універсальність, простоту організації обчислювального процесу і контролю його точності, швидкість збіжності, стійкість обчислювального процесу.

На четвертому етапі обчислювального експерименту вибирають середовище дослідження та розробляють алгоритми та програми для реалізації на ЕОМ.

П‘ятий та шостий етапи обчислювального експерименту полягають в дослідженні на ЕОМ. Спочатку проводять тестові розрахунки, які потрібні для налагодження програми і перевірки її відповідності реальному процесу математичної моделі. Для тестової задачі підбирають такі значення вхідних даних, щоб можна було оцінити достовірність розв'язку. Зіставлення знайденого за допомогою ЕОМ розв'язку з контрольним дає можливість уточнити математичну модель, або переконатися в тому, що вона добре описує досліджуваний об'єкт чи явище. Після цього проводять дослідження за розробленою програмою, яка виконується зазвичай в діалоговому режимі з ЕОМ. На цьому етапі обчислювального експерименту за допомогою математичної моделі передбачується поведінка досліджуваного об'єкта або явища в умовах, де реальні експерименти ще не проводились або зовсім неможливі.

Після проведення розрахунків на ЕОМ виконують сьомий етап обчислювального експерименту — всебічний аналіз результатів обчислень, на основі якого роблять висновки. Якщо результати надійні, то їх передають замовнику для подальшого використання; якщо результати розрахунків викликають сумнів щодо їх достовірності, тоді математичну модель модифікують, як правило, ускладнюють, і починається новий цикл обчислювального експерименту.

При виконанні всіх етапів обчислювального експерименту слід враховувати похибки вхідних даних задачі, що досліджується, які не можливо змінити в процесі дослідження, але необхідно знати, як вони впливають на точність кінцевого результату. Одні задачі мають похибку результату такого самого порядку, як і порядок похибки вхідних даних, в інших задачах похибка результату може на кілька порядків перевищувати похибку вхідних даних. Чутливість математичної моделі до неточностей у вхідних даних характеризується поняттям стійкості.

Задача називається стійкою за вхідними даними, якщо її розв'язок неперервний і залежить від вхідних даних, тобто малому приросту х вхідної величини відповідає малий приріст у шуканого розв'язку. Іншими словами, малі похибки вхідних даних спричинюють малі похибки розв'язку задачі. Якщо ця умова не виконується, то задача вважається нестійкою за вхідними даними. Це означає, що навіть незначні похибки вхідних даних можуть привести до як завгодно великих похибок розв'язку, тобто розв'язок може бути зовсім спотворений. Тому застосовувати безпосередньо до таких задач чисельні методи не можна, оскільки похибки округлень при застосуванні методу будуть катастрофічно нагромаджуватись у ході обчислень.

Розглянемо поняття коректності задачі. Задача називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних існує єдиний і стійкий за вхідними даними її розв'язок. Прикладом некоректно поставленої задачі є, задача чисельного диференціювання функцій.

Для розв'язування некоректно поставлених задач застосовувати класичні чисельні методи не варто, оскільки похибки округлень при розрахунках можуть катастрофічно зростати і призвести до результату, далекого від шуканого розв'язку. Для розв'язування некоректно поставлених задач використовують так звані методи регулярізації, які замінюють дану задачу коректно поставленою.

При аналізі результатів обчислювального експерименту (будь-якого моделювання математичного чи імітаційного) вирішується дві задачі теорії похибок пряма та зворотна.

Пряма задача – це визначення похибки результату рішення задачі на ЕОМ, що визначається неусувною похибкою, і вибір відповідного методу обчислень, допустимої похибки.

Зворотна задача – по доступній похибці результату визначаються похибки з якими можливе використання вхідних даних і постановки задачі.

     Література

1. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЕВМ. – М.: Мир, 1982. – 235с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.

4. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, 1988.

5. Численные методы / Н. И. Данилина, Н. С. Дубровская, О. П. Кваша и др. – М.: Висшая шк., 1976. – 368 с.

6. Иванов В. В. Методы вычислений на ЕВМ. – Киев: Наук. 1986. – 584 с.

     Питання та задачі до самостійної роботи

1. Визначити граничні абсолютні похибки наближених чисел а=96,387 і в=9,32, якщо вони містять тільки вірні цифри в вузькому та широкому понятті розуміння відповідно.

2. Яка гранична відносна похибка наближеного числа а=14,278 якщо вона містить тільки вірні цифри в широкому понятті розуміння.

3. Визначити значення функції y=cos(x) для наступних значень аргументу:

4. x=80°;x=1°.

5. Порахувати граничні абсолютну та відносну похибки результату.

6. Знайти добуток наближених чисел та , всі цифри яких вірні.

7. Виконати послідовні округлення наступних чисел: а) 2,75464; б) 3,14159; в) 0,56453; г) 4,1945; д) 0,60653.

Відповіді: а) 2,7546; 2,755; 2,75; 2,8; 3; б) 3,1416; 3,142; 3,14; 3,1; 3; в) 0,5645; 0,565; 0,56; 0,6; 1; г) 4,194; 4,19; 4,2; 4; д) 0,6065; 0,607; 0,61; 0,6; .

8. Округляючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну і відносну (у відсотках) похибки отриманих наближень: а) 1,1426; б) 0,01015; в) 0,1245; г) 921,55; д) 0,002462.

Відповіді: а) 1,14; = 0,0026; = 0,23%; б) 0,0102; = 0,00005; = 0,5%; в) 0,124; = 0,0005;= 0,41%; г) 922; = 0,45; = 0,049%; д) 0,00246 = 0,000002; = 0,082%.

9. Визначити абсолютну похибку наступних наближених чисел по їх відносній похибці: а) x = 2,52; = 0,7%; б) x=0,986; = 10%; в) х= 46,72; = 1%; г) x = 199,1; = 0,01; д) х = 0,86341; = 0,0004.

Відповіді: а) 0,018; б) 0,099; в) 0,047; г) 2,0; д) 0,00035,

10. Визначити кількість вірних значущих цифр у вузькому і широкому змісті для наступних наближених чисел: а) 39,285 ± 0,034; 6) 1,2785 ± 0,0007]; в) 183,3 ±0,1; г) 0,056 ± 0,0003; д) 84,17 ± 0,0073.

Відповіді: а) 3 і 3; б) 4 і 4; в) 3 і 4; г) 2 і 2; д) 3 і 4.

11. Визначити, яке з рівностей точніше: а) 6/25 1/4 чи 1/3 0,333; б) 1/9 0,1 чи 1/3 0,33; в) 15/7 2,14 чи 1/9 0,11; г) 6/7 0,86 чи 22/7; д) = 3,142 чи .

Вказівка. Попередньо знайти граничні відносні похибки. Більш точним є та рівність, гранична відносна похибка якої менше.

Відповіді: а) друге; б) друге; в) перше; г) друге; л) друге.

12. Округлити сумнівні цифри числа а = 47,453 ± 0,024, залишивши в ньому вірні знаки у вузькому змісті.

Відповідь: а = 47,5.

13. Округлити сумнівні цифри числа а = 46,3852 ± 0,0031, залишивши в ньому вірні знаки в широкому змісті.

Відповідь: 46,39.

14. Округлити сумнівні цифри наближеного числа а == 3,2873, якщо = 0,1%, залишивши в ньому вірні знаки в широкому змісті.

Відповідь: 3,29.

15. Знайти граничні абсолютні і відносні похибки наближених чисел, якщо вони мають тільки вірні цифри: а) а = 0,7538 (у вузькому змісті); б) а = 17,354 (у широкому змісті).

Вказівка. Використовувати формулу (1.34) п. 1.6.

Відповіді: а) ; =0,0075%; б) =0,001; =0,01%.

16. Вкажіть основні етапи обчислювального експерименту.

17. Вкажіть, що включає етап вибіру чисельного методу розв‘язання математичної моделі

18. Вкажіть, що включає етап тестування розроблених програмних засобів на відомих моделях. Для чого він використовується?

19. Вкажіть, що включає етап аналізу результатів дослідження і застосування.

20. Як аналізується чутливість математичної моделі до неточностей у вхідних даних?

21. Яка задача називається коректно поставленою?

22. Яка задача теорії похибок називається прямою?

< Зміст >