У багатьох випадках виникає необхідність розв’язання систем лінійних рівнянь із матрицею коефіцієнтів, яка змінюється, і постійним стовпцем вільних членів. Найчастіше для розв’язання таких задач використовується модифікований метод Гаусса. В цьому методі матрицю коефіцієнтів з матричного рівняння (2.1) подають у вигляді добутку лівої і правої трикутних матриць
.
Оскільки діагональні елементи однієї з матриць дорівнюють одиниці, їх можна не запам’ятовувати, і обидві матриці зберігати в пам’яті ЕОМ на місці матриці коефіцієнтів.
У варіанті методу, що називається методом Краута, використовується така послідовність знаходження елементів матриць:
;
;
.
Система зводиться до системи , розв’язання якої замінюється розв’язанням двох систем з трикутними матрицями:
Елементи знаходять з таких співвідношень:
.
Число арифметичних операцій, необхідних для розв’язання цим методом системи лінійних алгебраїчних рівнянь, .
Алгоритм модифікованого методу Гауса переставлено на рис.2.2
Рисунок 2.2 – Алгоритм модифікованого методу Гаусса