7.6 Згортка. Кореляція.

 

Кореляція (correlation), і її окремий випадок для центрованих сигналів – ковариация (covariance), є методом аналізу сигналів. Цей математичний апарат знайшов застосування в обробці зображень у сфері комп'ютерного зору або дистанційного зондування з супутників, у яких порівнюються дані з різних зображень, у радарних або гідроакустичних установках для дальнометрії та місцевизначення, у яких порівнюються передані та відбиті сигнали.

Кореляція дозволяє визначити ступінь незалежності одного процесу від іншого або встановити подібність одного набору даних до іншого. Кореляція також є невід'ємною частиною процесу згортки, що, по суті, та ж кореляція двох послідовностей даних, при обчисленні якої одна з послідовностей звернена в часі. Це означає, що для обчислення кореляції та згортки можуть використовуватися ті ж самі алгоритми.

Для двох послідовностей і довжини з нульовим середнім значенням, оцінка їх взаємної кореляції здійснюється за формулою

,

де , , – оцінка взаємної коваріації, що знаходиться за формулою

Для послідовності кінцевої довжини з нульовим середнім значенням обчислення автокореляційної функції здійснюється таким чином

,

де

Існує кілька способів розрахунку відклику системи на довільний вхідний сигнал. Найбільш розповсюджений спосіб розрахунку полягає в тому, що ми обчислюємо значення кожної точки в результуючому сигналі як зважену суму певної множини сусідніх точок вихідного сигналу. Коефіцієнти цієї суми збігаються з імпульсною характеристикою лінійної системи, розгорнутої відносно точки 0. Звідси й береться формула згортки для одновимірного випадку:

Розглянута операція отримання результуючого сигналу по вхідному називається згорткою (compression). Отже, будь-яка лінійна система здійснює згортку вхідного сигналу зі своєю імпульсною характеристикою. Це записується так: . Функція h[n] називається ядром згортки або імпульсною характеристикою лінійної системи.

Зазвичай всі сигнали, що обробляються на ЕОМ, мають кінцеву тривалість (тобто відмінні від нуля лише на кінцевому відрізку). Розглянемо, що відбувається з сигналом кінцевої тривалості, коли його згортають з кінцевим ядром згортки. Нехай сигнал х[n] відмінний від нуля тільки на відрізку від 0 до N-1 включно («має довжину К»). Нехай ядро згортки h[n] відмінне від нуля на відрізку від до включно, що складається з М точок (). Тоді при підстановці цих сигналів в рівняння згортки, отримаємо сигнал , який відрізняється від нуля на відрізку від до включно. Таким чином, довжина результуючого сигналу дорівнює , тобто сумі довжин вихідного сигналу і ядра згортки мінус один. Отже, операція згортки розширює сигнал на М-1 точку, де М – довжина ядра згортки.

Властивості згортки:

1. Закон комутативності:

(тобто можна переставляти місцями вихідний сигнал і ядро згортки);

2. Закон асоціативності:

(тобто замість того, щоб проводити згортку по черзі в різних системах, можна отримати систему з ядром (), яка є суперпозицією систем і ).

3. Закон дистрибутивності:

.

Теорема згортки. Згортка в часовій області еквівалентна множенню в частотній області; множення в часовій області еквівалентно згортці в частотній області. Це означає, що для виконання згортки двох сигналів можна перевести їх в частотну область, помножити їх спектри і перевести їх назад в часову область. Така операція виглядає громіздко. Однак з появою алгоритмів ШПФ, що дозволяють швидко обчислювати перетворення Фур'є, обчислення згортки через частотну область стало широко використовуватися. При значних довжинах ядра згортки такий підхід дозволяє в сотні разів скоротити час обчислення згортки.

Циклічна згортка й кореляція.

У дискретному вигляді лінійні перетворення можуть бути описані в загальному вигляді як векторно- матричні операції

де – вектор відліків вихідних даних, отриманий у результаті дискретизації безперервного сигналу відповідно до теореми Котельникова, – вектор відліків результату, – матриця розміром , що визначає ядро перетворення.

До числа подібних перетворень відноситься циклічна згортка послідовностей і в цьому випадку будується матриця ядра згортки:

Кожний елемент вектора Y може бути описаний як:

Матриця ядра циклічної взаємокореляції може бути побудована як транспонована матриця ядра згортки, тобто таким чином:

Тому кожний відлік результату може бути записаний як:

причому для .

Аперіодична згортка і кореляція на відміну від циклічної належить до класу локальних перетворень. При цьому, як правило, вважається, що розмір вектора вихідних даних значно більше розміру ядра згортки, що приводить до такого виразу для обчислення будь-якого відліку результату:

Обчислення згортки і кореляції лежить в основі кореляційного методу придушення перешкод. Сутність такого методу полягає у використанні розходження між кореляційними функціями сигналу та завади. Даний метод ефективний лише у випадку обробки періодичних або квазіперіодичних сигналів.