9.4. Інтервальні методи розв’язання диференційних рівнянь

 

Цікавість до використання інтервальних методів при вирішенні диференційних рівнянь пояснюється тим, що в рамках інтервального аналізу вхідні дані диференційного рівняння можуть бути задані у вигляді інтервалів, і отримані рішення враховують не лише помилки у вхідних даних, але й помилки апроксимації і округлення.

При інтервальному моделюванні ІВС, однією з задач є розв’язання диференційних рівнянь з інтервальними даними. На сьогодняшній день розроблено багато інтервальних методів розв’язку диференційних рівнянь. Розглянемо детально найвідоміші методи.

 

9.4.1. Інтервальний метод другого порядку для розв’язку звичайних диференційних рівнянь

 

Розглянемо задачу Коші

, (3.17)

. (3.18)

Припустимо, що функція f(y) визначена і має дві перші обмежені похідні на інтервалі A=[a,b].

Розглядаємий нижче метод розв’язку задачі (3.17), (3.18) припускає неточно задані початкові дані, а саме припустимо, що існує інтервал Y₀ такий, що він лежить строго в А і y₀ÎY₀. Окрім того припустимо, що функція f(y) має інтервальне розширення F(Y), що володіє наступними властивостями:

1) Функція F(Y) визначена і неперервна при всіх YÌA;

2) функція F(Y) монотонна по включенню, тобто з того, що Y₁ÌY₂, слідує F(Y₁)ÌF(Y₂);

3) існує число l>0 таке, що для всіх Y?A, а також існує - інтервальне розширення функції , що визначене при YÌA і монотонне по включенню.

Оскільки Y₀ лежить в А, для деякого скінченного h₀>0, знайдеться таке число ξ>0, що

.

Інтервальний розв’язок побудуємо на відрізку [0, ?], для цього розіб’ємо його на m частин точками (i=0,1,…,m), h= ?/m0.

Теорема 3.2 Якщо інтервали Y(x_i)=Y_i (i=0,1,…,m) визначаються формулами

Y₀=Y(x₀)=Y(0), (3.19)

Y_i+1=Y_i+(h/2){F(Y_i)+F(Y_i+hF(Y_i+[0,h]?F(A)))-(h³/12)?(Y_i+[0,h]·F(A))}, (3.20)

(i=0,1,…,m),

то для будь-якого розв’язку y(x) рівняння (3.17), такого, що y(0)ÎY₀, справедливі включення y(х_i)ÎY_i(i=1,…,m) і має місце наступна оцінка для ширини інтервалівY_i:

, (3.21)

де N і М – дійсні константи, що не залежать від i i h.

 

9.4.2. Інтервальні методи типу Рунге-Кутта

 

Розглянемо задачу Коши:

, (3.22)

. (3.23)

Припустимо, що функція f(x,y) визначена для всіх , де .

Так як ряд параметрів, що визначаються формулами метода Рунге-Кута, використовуються при побудові відповідних інтервальних формул, розглянемо спосіб отримання розв’язку цим методом в класичній математиці.

Для знаходження y(x+h), якщо відомо y(x) використовується наступна формула:

, (3.24)

де

а величини a₂, …, a_q, p₁, …, p_q, b_ij (0 залежать від вибору порядку похибки, q і самої функції f.

Нехай функція f(x,y) має інтервальне розширення F(X,Y), що має наступні властивості:

1. F(X,Y) визначене і неперервне для всіх ХÌD_х, YÌD_y;

2. F(X,Y)монотонне по включенню, тобто з Х₁ÌХ, Y₁ÌYслідує, що F(X₁,Y₁)ÌF(X,Y);

3. Існує константа L>0, така, що для всіх ХÌD_х, YÌD_y, де . Нехай, окрім цього, y(x,y) має інтервальне розширення Y(X,Y), визначене для всіх ХÌD_х, YÌD_y і монотонне по включенню.

Тоді розв’язок інтервального диференційного рівняння буде наступним:

де s – порядок рівняння.

Цей метод справедливий і для розв’язку рівнянь зі змінним кроком, а також для систем рівнянь вигляду (3.22) з відповідними початковими умовами.

 

9.4.3 Метод Крукеберга

Трьохкроковий метод Крукеберга чисельного розв’язання задачі Коши для звичайних диференційних рівнянь дозволяє отримати інтервали, що містять розв’язок задачі. В ньому попередньо будується інтервальний розв’язок для фіксованої дійсної задачі з певнимим початковими значеннями з заданої множини (інтервалу), а потім методом збурень знаходяться інтервальні включення для всіх можливих рішень.

Нехай рівняння першого порядку з початковими умовами y(x₀)=y₀ має єдиний розв’язок на [x₀,x₁]. Якщо початкові дані задані неточно, тобто , де Y₀ - певний інтервал в R, то розв’язки задачі в такій постановці утворюють множину . Необхідно знайти інтервал , де , x₁=x₀+h, величина кроку h визначається в процесі розв’язку.

На першому кроці знаходимо крок h і інтервальний поліном k-го ступеню P_k(x-x₀) такий, що при x₁=x₀+h, . Такі поліноми можуть бути отримані за ітераційним алгоритмом Пікара:

(3.27)

де F – інтервальне розширення функції f. На практиці обмежуються поліномами нульового ступеню p₀.

На другому етапі знаходиться інтервальний розв’язок початкового рівняння з дійсними початковими даними y(x₀)=d₀?Y₀. Використовуючи формулу Тейлора, в якій дійсні аргументи замінені інтервальнимим, маємо інтервал

Зрозуміло, що

U₀=Y₀-d₀ – всіх можливих збурень початкового значення d₀.Перепишемо початкову задачу у вигляді

(3.28)

Нам відомо, що , необхідно визначити . Шляхом розкладу правої частини за формулою Тейлора в околі розв’язку і утримуючи члени першогопорядку відносно h, маємо рівняння

, (3.29)

з початковими умовами (3.28). Тоді інтервал U₁=QU₀, де , F – інтервальне розширення функції , і є шуканим розв’язком задачі (3.29), (3.28).

Метод Крукеберга природнім чином узагальнюється на випадок системи рівнянь. При цьому буде матрицею, елементи якої є інтервальними розширеннями функцій.