6.1.2     Інтерполяція за Лагранжем

 

     Інтерполяція за Лагранжем (Lagrange interpolation) вживається в загальному випадку для довільно розташованих вузлів.

     Інтерполяційний поліном для методу Лагранжа представлений у вигляді:

,

де всі (j=0,…, n) - поліноми ступеня n, коефіцієнти яких можна знайти з допомогою (n+1) рівняння:

внаслідок чого отримаємо систему рівнянь:

…………………………………………….

     Якщо значення обирається так, що

то записана система рівнянь буде задовільна.

     Ця умова означає, що будь- який поліном дорівнює нулю при кожному , крім рівного . Тому в загальному випадку поліном має такий вигляд:

     Якщо =1, то коефіцієнти визначаються з виразу:

     Для полінома, який шукаємо, отримаємо:

.

     Вводячи позначення

Записуємо

     Треба відзначити дві головні властивості поліномів Лагранжа:

1) 

2) якщо лінійно залежить від , то слушний принцип суперпозиції: інтерполяційний поліном суми декількох функцій дорівнює сумі інтерполяційних поліномів доданків.

     Залишковий член інтерполяційної формули.

Припускаючи вузли інтерполяції відмінними один від другого, а функцію такою, що має неперервну похідну порядку на проміжку , де розміщені вузли інтерполяції, можна записати залишковий член інтерполяційної формули

    

на цьому проміжку у вигляді

     ,

         

де

     .

Тоді

     ,

         

де

     .

 

6.1.3 Сплайн - інтерполяція

 

Інтерполяція багаточленом Лагранжа або Ньютона на всьому відрізку з використанням великого числа вузлів інтерполяції часто призводить до неточного наближення, що пояснюється сильним накопиченням похибок в процесі обчислень. Крім того, через розбіжність процесу інтерполяції збільшення числа вузлів не завжди приводить до підвищення точності. Для того, щоб уникнути великих похибок, увесь відрізок розбивають на часткові відрізки і на кожному з часткових відрізків приблизно замінюють функцію f{x) багаточленом невисокого ступеня (так звана кусково-поліноміальна інтерполяція).

Одним із способів інтерполяції на всьому відрізку є інтерполяція за допомогою сплайн-функцій. Сплайн-функцією або сплайном називають кусково-поліноміальну функцію, що визначена на відрізку і має на цьому відрізку деяке число безперервних похідних.

Слово «сплайн» (англійське «spline») означає гнучку лінійку, що використовується для проведення гладких кривих через задані точки площини. Основною перевагою сплайнів є можливість локально змінювати форму кривої на виділеному проміжку значень.

Коли відрізок [a;b] досить великий, то не можна підвищувати точність інтерполяції за рахунок збільшення порядку інтерполяційного полінома. Це пов’язано з тим, що у полінома n-го порядку може бути n-1 точка екстремуму. При n→∞ графік полінома починає сильно коливатись і не наближається до нуля. Таке явище називають феноменом Рунге.

Тому більш перспективним є застосування кусочно-поліноміальної інтерполяція, при якій апроксимуюча функція складається з окремих поліномів, як правило, однакового невеликого порядку, визначених кожен на своїй частині відрізка [a;b].

Розглянемо інтерполяцію кусочно-лінійною та кусочно-квадратичною функцією.

Нехай f(x) задана на системі вузлів a≤x₀1<…n≤b й необхідно для вирішення задачі інтерполяції побудувати кусочно-лінійну функцію j(х), виходячи з умови критерію j(x_i)=y_i=f(x_i),.

Кусочно-лінійною функцією (лінійним сплайном) називається функція:

Для знаходження n пар її коефіцієнтів маємо систему з 2n лінійних рівнянь:

Графік кусочно-лінійної функції має вигляд (рис. 6.2):

Рисунок 6.2 – Графік кусочно-лінійної функції

Кусочно-лінійна функція φ(x) всередині інтервалу (х_i 1;x_i), безперервна й диференційована, а в точках x_i, безперервна, але не диференційована.

     Розглянемо кусочно-квадратичну функцію.

Нехай f(x) задана таблично на відрізку [a;b], але n=2m (парне) a≤x₀1<…n≤b.

Кусочно-квадратичною функцією (квадратичним сплайном) називається функція:

.

Для пошуку невідомих коефіцієнтів a_k,b_k,c_k, , формується система рівнянь на основі критерію інтерполяції φ(x_i)=y_i=f(x_i), . Ця система складається з т систем:

.

Наприклад, при k=1:

Графічно ця функція має вигляд (рис. 6.3):

Рисунок 6.3 – Графік кусочно-квадратичної функції

 

Кусочно-квадратична функція всередині кожного інтервалу (x_i-2,x_i) є безперервною та диференційована два рази, а в точках x_i безперервна, але не диференційована.

Узагальненням розглянутих функцій є сплайни.

Нехай на відрізку [a;b] задана система вузлів a₀≤x₀1<…n ≤b.

Сплайном S_m(x) називається функція, яка визначена на відрізку [a;b], належить класу l раз безперервно-диференційованих функцій, й така, що на кожному відрізку [х_к-1; х_к], вона є поліномом порядку m.

Різницю (m-l) називають дефектом сплайна, що показує різницю між порядком складаючих його поліномів і ступенем гладкості загальної функції.

Якщо сплайн побудований по деякій функції f(x) таким чином, що S_m(х_i)= f(x_i), то сплайн називають інтерполяційним. Вузли сплайна й вузли інтерполяції функції можуть не співпадати.

Очевидно, що кусочно-лінійна функція є інтерполяційним сплайном порядку 1 й дефекту 1, а кусочно-квадратична функція є інтерполяційним сплайном порядку 2, дефекту 2.