7.5 Дискретні перетворення сигналів

 

Крім звичного подання сигналів і функцій у вигляді залежності їх значень від певних аргументів (часу, лінійної або просторової координати тощо) при аналізі й обробці даних широко використовується математичний опис сигналів по аргументах. Можливість такого опису визначається тим, що будь-який як завгодно складний за своєю формою сигнал, що не має нескінченних значень на своєму інтервалі, можна представити у вигляді суми більше простих сигналів, і, зокрема, у вигляді суми найпростіших гармонійних коливань, що виконується за допомогою перетворення Фур'є. Відповідно, математично розкладання сигналу на гармонічні складові описується функціями значень амплітуд і початкових фаз коливань по неперервному або дискретному аргументі. Сукупність амплітуд гармонічних коливань розкладання називають амплітудним спектром сигналу, а сукупність початкових фаз – фазовим спектром. Обидва спектри разом утворюють повний частотний спектр сигналу, що по точності математичного подання тотожний динамічній формі опису сигналу.

Крім гармонічного ряду Фур'є, застосовуються й інші види розкладання сигналів: по функціях Уолша, Адамара, Вейвлета та інших, крім того, існують розкладання по поліномах Чебишева, Лаггера, Лежандра та інших. У ЦОС широко використовується дискретне перетворення Фур'є (ДПФ, discrete Fourier transform) і алгоритм його швидкого обчислення – швидке перетворення Фур'є (ШПФ). Вони дозволяють адекватно описувати в частотних координатах всі, крім самих миттєвих (< 1 с) сигналів; усічені по частоті Фур'є-компоненти описують дані більш правдоподібно, ніж будь-які інші степеневі ряди.

 

7.5.1. Спектр Фур'є неперервних та дискретних сигналів.

 

Нехай – неперервний сигнал, що задовольняє умові . Сигнал у цьому випадку може бути представлений у вигляді інтегрального розкладання по системі комплексних синусоїдальних функцій – інтеграла Фур'є:

.          (1.1)

де – комплексна функція, що визначає амплітуду та фазову затримку комплексної синусоїди із частотою :. У загальному випадку ця функція визначена на всій осі частот і називається вона Фур'є-спектром сигналу .

У свою чергу Фур'є-спектр може бути отриманий з вихідного сигналу за допомогою співвідношення:

                         (1.2)

Співвідношення (1.1), (1.2) являють собою пари інтегральних перетворень Фур'є, причому (1.2) – пряме перетворення Фур'є, (1.1) – іобернене перетворення Фур'є.

Відмітимо, що сигнал и Фур'є-спектр – дві взаємнооднозначні характеристики, перша є часовим представленням сигналу, друга – частотним. Часове представлення більш наочне та звичне для повсякденного сприйняття, друге – менш наочне, але винятково корисне при математичному описі перетворень сигналів у лінійних системах з постійними параметрами.

Основні властивості Фур'є-спектра :

1. Функція в загальному випадку є комплексною :

.

Функцію називають амплітудним спектром (іноді магнітудою спектра), вона визначає дійсну амплітуду синусоїди із частотою , що приймає участь у формуванні сигналу. Функцію називають фазовим спектром, вона показує фазовий зсув, якому варто піддати комплексну синусоїду частоти перед підсумовуванням при відновленні вихідного сигналу.

2. Внаслідок дійсності сигналу функція має комплексно-спряжену симетрію

,     

,          

3. Енергія спектра Фур'є обмежена й дорівнює енергії вихідного сигналу (рівність Парсеваля):

У теорії безперервних лінійних систем з постійними параметрами широко використовується поняття перетворення Лапласа (s - перетворення):

,                         (1.3)

функції, визначеної на комплексної s- площині: .

При цьому пряме перетворення Фур'є (1.2) може розглядатися як перетворення Лапласа, обчислене на уявній осі в s-площині:

.

У зв'язку із цим, у літературі часто можна зустріти позначення для Фур'є-спектра – , в якому є вказівка на те, що це спектр саме неперервного сигналу.

В теорії дискретних лінійних систем замість s-перетворення Лапласа широко використовується поняття Z-перетворення дискретного сигналу

                         (1.4)

Z-перетворення має сенс, для тих значень комплексної змінної z, при яких ряд (1.4) збігається.

Z-перетворення лінійне, завдяки чому воно успішно використовується при описі лінійних дискретних систем. Вихідна послідовність може бути відновлена за допомогою оберненого Z - перетворення :

    

,                        

де С – замкнутий контур, що охоплює все особливі точки функції .

Спектр Фур'є дискретних сигналів. Спектром Фур'є послідовності називають комплексну функцію

                         (1.5)

                                   (1.6)

Вираз (1.6) показує, як вихідна послідовність може бути зібрана з дискретизованих комплексних синусоїд різних частот, узятих з вагами . Порівняння (1.5) з (1.4) показує, що спектр Фур'є – є просто Z-перетворенням, обчисленим на одиничній окружності в комплексній Z-площині. Властивості спектра Фур'є дискретних сигналів подібні до властивостей спектра Фур'є неперервних сигналів. Однак є принципова відмінність. Спектр періодичний по частоті з періодом . Тому його значення розглядають на одному періоді – або , або .