4.5 Теплопровідність твердих тіл

 

Швидкість розповсюдження пружних хвиль (швидкість звуку) в твердих тілах достатньо висока (3-5)∙10м/с). Здавалося б, що з такою ж швидкістю повинні розповсюджуватися і теплові коливання, внаслідок чого теплопровідність твердих тіл повинна бути дуже високою. Проте подібна картина мала б місце лише в тому випадку, якщо б атоми твердого тіла робили строго гармонічні коливання, що розповсюджувалися в гратках у вигляді системи гармонічних хвиль, оскільки такі хвилі не взаємодіють одна з одною і тому не розсіюються одна на одній подібно світловим хвилям, що розповсюджуються в просторі. В дійсності ж теплове коливання атомів носить ангармонічний характер, що приводить до взаємодії нормальних коливань гратки і розсіювання їх одна на одній. Ці процеси зручно описувати на мові фононів. Строго гармонічним нормальним коливанням, не взаємодіючим між собою, на корпускулярній мові відповідає ідеальний фононний газ, що складається з невзаємодіючих фононів; перехід до ангармонічних нормальних коливань еквівалентний введенню взаємодії між фононами, в результаті якої вони починають розсіватися один на одному. Таке розсіювання називають фононним. Воно приводить до хаотизації руху фононів, перетворюючи процес розповсюдження тепла в типово дифузійний. Саме цим пояснюється відносно низька теплопровідність гратки твердих тіл, властива діелектрикам. Метали і напівпровідники окрім граткової теплопровідності Кгр мають ще електронну теплопровідність Кел, обумовлену наявністю в них електронного газу, здатного ефективно переносити тепло.

Теплопровідність гратки. Як вказано вище, теплопровідність (thermal conductivity) обумовлена дифузією фононового газу з більш нагрітих об’ємів гратки, де його концентрація nф вища, в менш нагріті, де вона нижча. Тому для коефіцієнта теплопровідності гратки Кгр як теплопровідності фонноного газу можна скористатися виразом, який дає кінетична теорія для коефіцієнта теплопровідності звичайного газу:

                              (4.26)

замінивши в цьому виразі довжину вільного пробігу молекул на довжину вільного пробігу , середню швидкість руху молекул швидкістю звуку (швидкістю руху фононів) і теплоємність одиниці об’єму газу на теплоємність гратки (фононного газу) . Тоді одержимо

.                    (4.27)

При фонон-фононному розсіюванні довжина вільного пробігу фононів повинна бути обернено пропорційна їх концентрації: . Tому

                              (4.28)

У області високих температур теплоємність CV не залежить від Т, а − пропорційна Т. Тому

.                                   (4.29)

Теплопровідність гратки істотно залежить від жорсткості зв'язку між частинками , оскільки з зменшенням зменшується модуль пружності Е, а отже, і швидкість розповсюдження звуку ( − густина твердого тіла); крім того, із зменшенням росте ангармонічність коливань атомів, що приводить до посилення фонон-фононного розсіювання. Обидва ці чинника повинні призводити до зменшення теплопровідності гратки.

Граткова теплопровідність сильно залежить також від маси частинок М, створюючих гратку, оскільки збільшення М приводить, як показує розрахунок, до зростання коефіцієнта ангармонічності і, отже, до посилення фонон-фононного розсіювання. Цим значною мірою пояснюєтся той факт, що коефіцієнти теплопровідності легких елементів, розташованих у верхній частині таблиці Д. І. Менделєєва ( і ін.), мають величини порядку десятків і навіть сотень ват на метр-кельвін; у елементів середини таблиці Д. І. Менделєєва зменшується до одиниць ват на метр-кельвін, а у важких елементів − вже до десятих часток.

Практично це важливо не тільки для підбору матеріалів з високою гратковою теплопровідністю, але і для розуміння фізичних основ пошуку і розроблення матеріалів з необхідною гратковою теплопровідністю. З цієї точки зору стає ясним, наприклад, чому кераміка з оксидів легша металів, особливо берилієва, яка має відносно високу теплопровідність.

При температурах нижчих за температуру Дебая концентрація фононів різко зменшується при зниженні Т, внаслідок чого їх довжина вільного пробігу різко зростає і врешті-решт досягає величини, порівняної з розмірами кристала. Оскільки стінки кристала розсіюють фонони, подальше зниження температури вже не приводить до збільшення , оскільки остання визначається просто розмірами кристала. В цьому випадку

.                    (4.30)

Аналогічна картина повинна спостерігатися і у аморфних діелектриків, у яких розміри областей правильної структури за порядком величин порівнянні з атомними. Розсіювання фононів на межі таких областей повинно переважати при всіх температурах, і тому не повинна залежати від Т. Через це у таких діелектриків коефіцієнт теплопровідності повинен бути пропорційний у області низьких температур і не залежати від Т в області високих температур, що і має місце в дійсності.

Електронна теплопровідність. В металах перенесення тепла здійснюється не тільки фононами, але і вільними електронами. Тому теплопровідність металів К складається з теплопровідності гратки і теплопровідності електронного газу . Останню можна обчислити, підставивши в (4.26) теплоємність електронного газу , швидкість фермієвських електронів і довжину їх вільного пробігу :

.                              (4.31)

Визначимо якісний характер температурної залежності теплопровідності чистих металів. Підставивши з (4.21) в (4.31), одержимо

.                         (4.32)

У області високих температур зі всіх величин, що входять в (4.32), від температури залежить практично тільки , яка для чистих металів визначається розсіюванням електронів на фононах. Тому оскільки в області високих температур . Підставивши це в (4.32), знаходимо

.                              (4.33)

Таким чином, в області високих температур теплопровідність чистих металів не повинна залежати від температури.

У області низьких температур тому і

.                              (4.34)

Отже, в області низьких температур, де виконується закон Дебая, теплопровідність чистих металів повинна бути обернено пропорційна квадрату абсолютної температури, що також підтверджується експерементом.

Поблизу абсолютного нуля концентрація фононного газу стає настільки малою, що починає визначаться розсіюванням електронів на домішкових атомах, завжди зосереджених в металі, на скільки б чистим він не був. В цьому випадку ( − концентрація домішкових атомів) не залежить від Т і електронна теплопровідність металу згідно з (4.32) повинна бути пропорційна Т

               .                              (4.35)

Теплопровідність напівпровідників. Напівпровідникові матеріали хороші тим, що можуть мати високу граткову теплопровідність, якщо їх кристали не дуже дефектні і складаються з легких атомів, як це має місце, наприклад, у кремнію і германію. Їх електронну теплопровідність можна змінювати в широких межах, змінюючи концентрацію електронного газу шляхом легування. Проте для більшості напівпровідників основний внесок в теплопровідність вносять гратки. Так, для германію, що має питомий опір 1 Омсм при кімнатній температурі, відношення . Навіть для такого напівпровідника, як телурід вісмуту (), який має дуже низький питомий опір Омсм, відношення досягає величини всього лише порядку 0,2.