Додаток А

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ТА ЗАДАЧІ

А.1 ОПТИЧНІ ЯВИЩА І ЕФЕКТ ХОЛЛА В НАПІВПРОВІДНИКАХ

А.1.1 Вправи для самоперевірки

А.1.1.1 На пластину з арсеніду галію площею S = 100 мм і товщиною b = 0,5 мм падає монохроматичне випромінювання з довжиною хвилі λ = 556нм. Визначити число електронно-діркових пар, що генеруються кожну секунду в об'ємі напівпровідника при освітленості Е = 100Лк. Квантовий вихід внутрішнього фотоефекту взяти рівним одиниці. Процесами відбиття світла знехтувати. На заданій довжині хвилі показник поглинання матеріалу α = 10⁶м^-1.

А.1.1.2 Пластина германію п-типу довжиною l = 10 мм, шириною a = = 2мм і товщиною b = 0,5 мм має поздовжній опір R = 2 кОм. Час життя неосновних носіїв заряду τ_р = 100 мкс. На зразок поверхні нормально падає монохроматичне випромінювання з довжиною хвилі λ = 0,546 мкм. На цій довжині хвилі світловий еквівалент потоку випромінювання 625 лм/Вт. Вважаючи, що весь падаючий на зразок світловий потік повністю витрачається на генерацію електронно-діркових пар, визначити, при якій освітленості зразка його опір зменшиться в два рази. Квантовий вихід внутрішнього фотоефекту η = 1, а рухливість електронів µ_п = 0,39 і µ_р = 0,19 м² В^-1 с^-1. При даній температурі власна концентрація носіїв п_і = 2,1·10¹⁹ м^-3. Поверхневою рекомбінацією знехтувати.

А.1.1.3 На пластину напівпровідника розмірами l×b×d перпен-дикулярно до плоскої поверхні падає потік монохроматичного випромінювання інтенсивністю І₀. Показник заломлення напівпровідника п₀ і показник оптичного поглинання α. Вважаючи, що в створенні фотоструму І_ф беруть участь тільки електрони і, нехтуючи темповим струмом, довести, що

,

де – час життя електронів; – квантовий вихід внутрішнього фотоефекту; d – розмір напівпровідникової пластини (в напрямку падіння світла): U – напруга прикладена вздовж пластини (за розміром l ).

А.1.1.4 В експерименті з вивчення ефекту Холла, який проведений із зразком кремнію розмірами l×а×d=1,0×0,2×0,1, де l – довжина, а – ширина, d – товщина зразка, отримані такі дані: при напрузі U = 0,245 В тече струм вздовж зразка І=5мА; нормально до поверхні l×а діє магнітне поле індукцією В = 1Тл; виміряна напруга Холла U_н = 2,0 мВ. Вважаючи, що множник Холла r_п=1,18, визначіть:

а) тип напівпровідника; б) концентрацію основних носіїв; в) холлівську рухливість носіїв; г) рухливість, що пов'язана з протіканням основного струму;

д) коефіцієнт дифузії.

А.1.2 Розв'язування

А.1.2.1 На заданій довжині хвилі показник поглинання GaAs великий, глибина поглинання . Тому всі фотони падаючого випромінювання поглинаються в об'ємі напівпровідника, кожен з яких відповідний за виникнення нової пари носіїв заряду. На пластину падає світловий потік Ф = E∙S = 100∙100∙10^-6=10^-2 Лм з довжиною хвилі λ = 0,0556 мкм, потужність випромінювання 1 Вт відповідає світловому потоку 683 Лм. Потужність випромінювання, що падає на пластину напівпровідника, . Довжині хвилі λ = 0,556 мкм відповідає енергія фотонів , звідки визначаємо кількість фотонів, що поглинаються в об'ємі напівпровідника за одиницю часу. Вона дорівнює числу генерованих електронно-діркових пар

.

А.1.2.2 Знайдемо питомий опір германію

Питомий опір пов'язаний з концентрацією носіїв заряду співвідношенням:

Звідси отримуємо рівняння для рівноважної концентрації електронів: Підставивши в нього значення з умови задачі, маємо або .

Розв'язком цього рівняння є Рівноважна концентрація дірок При поглинанні світла в зразку генерується однакова кількість нерівноважних електронів ∆п і дірок ∆р. Тому питома провідність освітленого зразка:

γ_c = e(Δn+n₀)μ_n+e(Δp+p₀)μ_p = 2/p_n = 10 cм/м

або

Звідки Δn = Δp = 5,4∙10¹⁹. Загальна кількість нерівноважних носіїв, що створюються при поглинанні фотонів у всьому об'ємі зразка V:          Δn_∑ = Δp_∑ = Δn∙V ≈ 5,4∙10¹⁹(10∙2∙0,5)∙10^-9  = 5,4∙10¹¹.

Внаслідок рекомбінації число електронно-діркових пар в зразку зменшується зі швидкістю:

Щоб у зразку підтримувалась необхідна динамічна рівновага, тобто незмінна кількість нерівноважних носіїв заряду, необхідне виконання умови r=ηN_ф, де N_ф число фотонів, що кожну секунду поглинається в об'ємі напівпровідника. Необхідний світловий потік:

Тоді освітленість зразка

А.1.2.3     Відповідно до закону Бугера-Ламберта зміна інтенсивності випромінювання при віддалені від поверхні в глибину напівпровідника

При нормальному падінні світлових променів коефіцієнт френелевого відбиття Виділимо тонкий шар товщиною dx, в межах якого інтенсивність випромінювання можна вважати постійною. Тоді в стаціонарних умовах для надмірної концентрації електронів справедливий вираз , де – швидкість оптичної генерації носіїв заряду. Електричний струм, що протікає в шарі dx на глибині x, Підсумовуючи провідність усіх шарів, і перейшовши до інтегралу, знайдемо повний фотострум:

.

А.1.2.4 а) тому що напруга U_н позитивна, зразок виконаний з напівпровідника р-типу;

б)

в)

г)

д)

А.1.3 Задачі

А.1.3.1 Визначити енергію фотонів для червоного випромінювання (). Вказати, які напівпровідники прозорі для цього випромінювання, а які його поглинають.

А.1.3.2 Визначити мінімальну довжину світлової хвилі, для якої арсенід галію, що має ширину забороненої зони 1,43еВ при температурі 300К, оптично прозорий. Як буде змінюватися ця гранична довжина хвилі при зниженні температури?

А.1.3.3 Визначити порогову довжину хвилі власного поглинання арсеніду галію при температурі кипіння рідинного азоту (7,2К), коли ширина його забороненої зони при Т = 300К дорівнює 1,13еВ, а

А.1.3.4 При температурі 300K для монохроматичного випромінювання з довжиною хвилі l мкм показник поглинання кремнію = 10⁴м^-1, а коефіцієнт відбиття випромінювання R=0,3. Визначити частину потоку випромінювання Ф(h), що пройде через пластину кремнію товщиною h=300мкм при нормальному падінні.

А.1.3.5 Визначити надмірну концентрацію носіїв заряду в епітаксій-ному шарі кремнію товщиною b = 20мкм при оптичному збудженні монохроматичним випромінюванням з інтенсивністю l = 10²¹м²с^-1, якщо час життя нерівноважних носіїв заряду τ = 10мкс, а показник власного поглинання кремнію на довжині хвилі випромінювання а = 2000 м^-1. Квантовий вихід внутрішнього фотоефекту η прийняти рівним одиниці.

А.1.3.6 При тих же умовах, що і в задачі А.1.3.5. знайти відносну зміну питомої провідності кремнію під дією оптичного збудження, якщо питомий опір матеріалу в темноті ρ_т = 0,2 Омм, а рухливість електронів і дірок 0,14 і 0,05 м²В^-1с^-1, відповідно.

А.1.3.7 Визначити відношення питомих провідностей плівки сульфіду кадмію n-типу товщиною 100 мкм в темноті і при однорідному оптичному збудженні γ_c монохроматичним випромінюванням інтенсивністю , якщо рівноважна концентрація електронів у зразку , показник поглинання , а час життя нерівноважних носіїв заряду . Складовою діркової провідності у загальній фотопровідності можна знехтувати. Квантовий вихід внутрішнього фотоефекту покласти рівним одиниці.

А.1.3.8 Визначити фотострум I_ф через фоторезистор сульфіду кадмію, площею і товщиною 1мкм при впливі на нього монохроматичного випромінювання з і густиною потоку 10Вт/м², який падає нормально до поверхні напівпровідника. Електрична напруга, яка прикладена вздовж фоточутливої плівки, складає 5В. В даному спектральному діапазоні коефіцієнт поглинання , показник заломлення . Рухливість електронів , час їх життя . Квантовий вихід внутрішнього фотоефекту покласти рівним одиниці. Темновим струмом знехтувати. Як зміниться фотострум, якщо на фоточутливу плівку з CdS впливати монохроматичним випромінюванням (λ = 1 мкм)?

А.1.3.9 В якому з напівпровідникових матеріалів власна фотопровідність спостерігається при найбільшій довжині хвилі падаючого на напівпровідник випромінювання: Ge, Si, SiC, InSb, GaAs, GaP, CdS?

А.1.3.10 Довгохвильовій межі зовнішнього фотоефекту сурм'яно-цезієвого фотокатода при температурі близькій до абсолютного нуля відповідає довжина хвилі λ₁ = 0,65 мкм, а поріг фотопровідності в цьому матеріалі спостерігаться при λ₂ = 2,07мкм. Визначити положення дна зони провідності даного напівпровідника відносно енергетичного рівня вакууму.

А.1.3.11 Довгохвильовій межі фотопровідності власного напівпровідника відповідає λ = 1,86мкм. Визначити температурний коефіцієнт питомого опору матеріалу для Т = 300К.

А.1.3.12 Зобразіть (якісно) на одному графіку спектральні характеристики власної фотопровідності для кремнію і германію. Пояснити відмінність в положенні цих кривих.

А.1.3.13 На рис. 1.1 показані спектральні характеристики оптичного пропускання τ₀ двох прозорих електродів різної товщини на основі діок-сиду олова з однаковою питомою провідністю. Визначити для діоксиду-олова показник поглинання а випромінювання зеленого кольору, використовуючи верхню криву, яка отримана для електрода товщиною 2 мкм. Яка
товщина другого електрода?

Рисунок А.1.1

А.1.3.14 Яка повинна бути ширина забороненої зони напівпровідникового матеріалу, щоб довжина хвилі рекомбінаційного випромінювання припадала на видиму область спектра?

А.1.3.15 Визначити відношення числа носіїв заряду, які проходять за одиницю часу через електроди фоточутливого напівпровідника, до числа фотонів, які поглинаються напівпровідником за такий же термін, якщо відомо, що при повному поглинанні монохроматичного випромінювання (λ=565 нм) потужністю 100 мкВт фотострум дорівнює 10мА. Квантовий вихід внутрішнього фотоефекту покласти рівним одиниці.

А.1.3.16 Визначити максимальну ширину забороненої зони, яку може мати напівпровідник, що використовується як фотодетектор, якщо він повинен бути чутливим до випромінювання з довжиною хвилі λ = 565 нм.

А.1.3.17 На напівпровідниковий фотодетектор площею 0,5мм² падає потік монохроматичного випромінювання () густиною 20 мкВт/м². Визначити кількість електронно-діркових пар, які щосекундно генеруються в об'ємі напівпровідника, вважаючи, що кожний фотон створює лиш одну пару носіїв заряду.

А.1.3.18 Використовуючи розв'язок задачі А.1.3.17, визначити в скільки разів зміниться швидкість генерації, якщо густина потоку випромінювання зменшиться в два рази.

А.1.3.19 Використовуючи розв'язок задачі А.1.3.17, визначити як зміниться швидкість оптичної генерації, якщо довжина хвилі λ, зменшиться вдвоє.

А.1.3.20 На рис.1.2 показаний спектр власного поглинання антимоніду
індію для двох різних температур. На основі цих даних оцінити ширину
забороненої зони напівпровідника при вказаних температурах.

Рисунок А.1.2

А.1.3.21     Визначити фотострум, що протікає через фоторезистор з довжиною чутливого елемента l = 5 мм, коли до його електродів прикладена напруга U=10 B при однорідному оптичному збудженні Час життя нерівноважних носіїв заряду τ = 10 мкс, показник поглинання матеріалу фоторезистора на довжині хвилі випромінювання α = 30000 м^-1, a рухливості електронів і дірок μ_п = 0,034 і μ_р = 0,011 м²в^-1с^-1, відповідно. Вважати квантовий вихід внутрішнього фотоефекту рівним одиниці.

А.1.3.22 Фоторезистор чутливістю І_ф / І₀ = 10^-4 Ам²с^-2 при напрузі U =10 B опромінюється монохроматичним випромінюванням довжиною хвилі λ = 700 нм. Квантовий вихід внутрішнього фотоефекту η = 0,9, коефіцієнт відбиття випромінювання R=0,3, час життя носіїв заряду в матеріалі фоторезистора τ =10мкс, а рухливість електронів і дірок μ_п = 0,95 м²в^-1с^-1, μ_р = 0,045 м²в^-1с^-1. Визначити необхідну довжину фоточутливого елемента фоторезистора.

А.1.3.23 Час дрейфу носія заряду через резистор при напрузі U = 10В дорівнює t_пр = 10 мкс. Визначити рухливість носіїв заряду матеріалу чутливого шару фоторезистора, якщо його довжина l = 7мм.

А.1.3.24 Прямокутний зразок напівпровідника п-типу і розмірами a = = 50мм, b = 5 мм і d = 1мм занурений у магнітне поле з індукцією B = = 0,5Тл. Вектор магнітної індукції перпендикулярний до площини зразка. Під дією напруги U_a =0,42 В, прикладеної вздовж зразка, по ньому протікає струм I_a=20мА. Вимірювання показують ЕРС Холла U_н=6,25мВ. Знайти питому провідність напівпровідника і коефіцієнт Холла.

А.1.3.25 Використовуючи дані задачі А.1.3.24, визначити концентрацію носіїв заряду, вважаючи, шо електропровідність обумовлена носіями тільки одного знака.

А.1.3.26 Використовуючи розв'язок задач А.1.3.24 і А.1.3.25, визначити рухливість носіїв заряду.

А.1.3.27 При тих же умовах, що і в задачі А1.3.24 визначити ЕРС Холла в зразку міді тих же розмірів, по якому протікає той же струм. Концентрацію електронів провідності міді вважати рівною 8.45·10²⁸м^-3.

А.1.3.28 Плоский прямокутний зразок фосфіду індію з питомим опором ρ = 2·10^-3Омм, рухливістю електронів μ_п = 0,4м²В^-1с^-1 занурений у магнітне поле індукцією В = 1Тл, вектор якої перпендикулярний до площини кристалу. Вздовж зразка протікає струм I = 20мА. Визначити силу Лоренца, яка діє на електрони, якщо площа поперечного перерізу зразка S = 2мм².

А.1.3.29 Зразок арсеніду галію з питомим опором 5∙10^-4 Ом?м характеризується коефіцієнтом Холла R_н = 3∙10^-4м³/Кл. Визначити: а) напруженість холлівського поля, яка виникає при пропусканні через зразок струму густиною j = 10мА/мм² і дії магнітного поля з індукцією B= =2Тл; б) напруженість зовнішнього електричного поля для створення заданої густини струму.

А.1.3.30 Кристал кремнію легований бором до концентрації N_a=10²²м^-3. Визначити коефіцієнт Холла для температур 40 і 400К, якщо енергія іонізації бору в кремнії ΔW_a = 45меВ, а ефективна маса густини станів для дірок валентної зони т_p = 0,56т₀.

А.1.3.31 Визначити рухливість і концентрацію електронів в кремнії п-типу, питомий опір якого ρ = 1,8∙10^-2 Ом∙м, а коефіцієнт Холла R_н = = 2,1∙10^-3м³/Кл

А.1.3.32 У кремнії п-типу з концентрацією донорів N_d = 2∙10²¹м^-3 при температурі T₁ = 20К коефіцієнт Холла R_н1 = 428 м³ /Кл, а при температурі

T₂ = 40К, R_н2 = 0,21 м³/Кл. Визначити енергію іонізації донорів.

А.1.3.33 Плівка антимоніду індію п-типу розмірами l×b = 20×10мм розташована в площині, що перпендикулярна до магнітного поля Землі. Визначити, яку різницю потенціалів необхідно прикласти вздовж плівки, щоб на інших боках отримати ЕРС Холла U_h =1мВ. Вважати індукцію магнітного поля Землі рівною 44 мкТл, а рухливість електронів μ_н = 7,8 м²В^-1с^-1.

А.1.3.34 Визначити тип електропровідності напівпровідника, якщо ЕРС Холла має полярність, яка вказана на рис. А.1.3.

А.1.3.35 Яке буде значення ЕРС Холла, якщо ширину напівпровіпнико-вої пластини (рис. 1.3) зменшити в два рази при: а) незмінних напруженостях електричного і магнітного полів; б) незмінних індукції магнітного поля і густини струму через зразок: в) незмінній індукції магнітного поля і струму через зразок?

Рисунок А.1.3

А.1.3.36 Визначити коефіцієнт Холла для германію з власною електропровідністю при температурах T₁=300К і T₁=500К, вважаючи, що рухливості електронів і дірок змінюються у відповідності з виразами μ_п = = 0,39(Т/300)^-3/2; μ_р = 0,19((Т/300)^-3/2). Власна концентрація носіїв заряду при кімнатній температурі п_і = 2,1∙10¹⁹ м^-3, коефіцієнт температурної зміни ширини забороненої зони в = -3,9∙10^-4eB/K, а ефективні маси густини станів для електронів і дірок дорівнюють: т_п = 0,55т₀; т_Р = 0,388 т₀, де т₀ – маса вільного електрона.

А.1.3.37 Вздовж зразка германію з поперечним перерізом 0,1×0,2см і концентрацією легуючих домішок 10¹⁷см^-3 протікає струм 0,6А. Перпендикулярно до напрямку струму діє магнітне поле з індукцією 0,5Тл. Визначити напругу Холла між контактами вузьких сторін бічної поверхні зразка.

А.1.3.38 Визначити ЕРС Холла, яка виникає в пластині германію товщиною 0,5мм з власною електропровідністю при температурі 300К, якщо вздовж пластини проходить струм І = 10мА. Вектор магнітної індукції перпендикулярний до площини пластини В = 0,6Тл. Концентрація власних носіїв заряду при даній температурі п_і = 2,1∙10¹⁹м^-3, а відношення рухливостей електронів і дірок μ_п / μ_р = 2,05.

А.1.3.39     Установлено, що при деякій температурі в кристалі чистого антимоніду індію ЕРС Холла дорівнює нулю. Визначити, яка частка електричного струму через зразок при цій температурі переноситься дірками, якщо відношення рухливості електронів до рухливості дірок μ_п/μ_р = = 100.

А.1.3.40 Розв'язати попередню задачу для германію, враховуючи, що μ_п = 0,39м²В^-1с^-1; μ_р = 0,19м²В^-1с^-1.

А.1.3.41 Визначити, при якому співвідношенні концентрацій електронів і дірок в кремнії ЕРС Холла дорівнює нулю, якщо їх рухливості дорівнюють відповідно 0,14 і 0,05 м²В^-1с^-1.

А.1.3.42 В результаті вимірювань установлено, що в пластині кремнію р-типу при температурі Т = 500К спостерігається інверсія знака коефіцієнта Холла. Знайти концентрацію акцепторів у напівпровіднику, якщо μ_п = = 0,14м²В^-1с^-1; μ_р = 0,048 м²В^-1с^-1, причому відношення рухливостей незмінне у всьому інтервалі вимірювань. Власна концентрація носіїв заряду в кремнії при Т = 300К п_і = 1,8∙10²⁰м^-3.

А.1.3.43 У приладі для дослідження ефекту Холла в зразку германію, рис. А.1.3. при l = 2,5мм; d = 50мкм; а = 0,25мм; I = 2мA; B = 5∙10^-1Tл отримано U = 85мВ (в напрямку струму І); U_н = -1,25мВ. Визначити концентрацію носіїв заряду.

А.1.3.44 За умовою задачі А.1.3.43 визначити коефіцієнт Холла.

А.1.3.45 За умовою задачі А.1.3.43 визначити рухливість основних носіїв заряду.

А.1.3.46 Довести, що при заданих напруженостях електричного і магнітного полів ЕРС Холла прямо пропорційна рухливості носіїв заряду.