3.2 Схеми і закони розподілу випадкових подій та величин
Значну роль у теорії і практиці системного аналізу відіграють стандартні розподіли неперервних і дискретних ВВ. Ці розподіли іноді називають «теоретичними», оскільки для них розроблено формальні методи розрахунку усіх показників, зафіксовані зв’язки між ними та побудовані алгоритми їх розрахунку і т.п. Таких, класичних законів розподілу досить багато, хоча їх «штат» за останні 30..50 років практично не поповнився. Необхідність знайомства з ними пояснюється тим, що вони відповідають «теоретичним» схемам випадкових (здебільшого – елементарних) подій.
Як уже відзначалося, наявність великих масивів взаємозалежних подій і велика кількість випадкових величин, наприклад, у системах економіки призводить до труднощів апріорної оцінки законів розподілів цих подій або величин. Нехай, наприклад, ми деяким чином встановили математичне сподівання попиту на деякий товар. Однак цього замало – треба хоча б оцінити степінь коливання цього попиту, щоб відповісти на запитання – а яка ймовірність того, що він буде лежати в певних межах? От якби встановити факт приналежності даної випадкової величини до нормального класичного розподілу, тоді задача оцінки діапазону, тобто довіри до нього (довірчих інтервалів) була б вирішена без будь-яких труднощів.
Як відомо, доведено, що, наприклад, з ймовірністю більше 95% випадкова величина X з нормальним законом розподілу лежить у діапазоні, де математичне сподівання Mx дорівнює плюс/мінус три середньоквадратичних відхилень Sх.. Таким чином, справа полягає у тому, до якої із схем випадкових подій класичного зразка ближче всього належить схема функціонування елементів вашої системи.
Наведемо простий приклад. Слід оцінити показники оплати за послуги надання часу на міжміські переговори, наприклад, знайти ймовірність того, що за 1 хвилину здійснюється рівно N переговорів, якщо заздалегідь відомо середнє число замовлень, що надходять у хвилину. Виявляється, що схема таких випадкових подій підпадає під розподіл Пуассона для дискретних випадкових величин. Цьому розподілу підпорядковуються майже усі дискретні величини, що позв’язані з так званими «рідкісними» подіями.
Далеко не завжди математична оболонка класичного закону розподілу досить проста. Навпаки, найчастіше це складний математичний апарат зі своїми, специфічними прийомами. Однак, справа не в цьому, тим більше при «суцільній» комп’ютеризації усіх сфер діяльності людини. Очевидно, що немає необхідності знати в деталях властивості всіх, або, хоча б, певної частини класичних розподілів. Досить пам’ятати тільки про саму можливість скористатися ними.
Таким чином, під час системного підходу до розв’язання тієї або іншої задачі керування слід дуже зважено поставитися до вибору елементів системи або окремих її системних операцій. При цьому, не завжди «збільшення показників» забезпечить логічну стрункість структури системи, тобто, треба розуміти, що помітити близькість схеми подій у даній системі до схеми класичної найчастіше вдається тільки на «елементарному» рівні системного аналізу.
Завершуючи питання про розподіли випадкових величин звернемо увагу на ще одну важливу обставину: – навіть якщо нам досить одного єдиного показника – математичного сподівання деякої випадкової величини, то й у цьому випадку виникає питання щодо надійності даних про цей показник. І справді, нехай даний вибірковий розподіл випадкової величини X, наприклад, щоденний виторг у $, у вигляді 100 спостережень за цією величиною. Нехай ми розрахували середнє Mx і воно склало $125 за умови коливань від $50 до $200. Разом з тим, припустимо, що було знайдено Sx, що дорівнює $5. Звідси постає запитання – а наскільки вірним буде твердження, що у наступні дні виторг складе $125? або буде знаходитись в інтервалі $120..$130? або виявиться більше деякої суми, наприклад, $90?
Питання такого типу є надзвичайно гострими, особливо якщо це елемент деякої економічної системи (один з багатьох). При цьому, висновки за результатами системного аналізу та їх вірогідність, зазвичай, залежать від відповідей на деякі питання. Що ж говорить теорія про ці питання?
З одного боку надто багато, а з іншого боку – майже нічого. Так, наприклад, якщо у вас є впевненість у тому, що «теоретичний» розподіл деякої випадкової величини відноситься до деякого класичного, тобто цілком описаного в теорії типу, то можна отримати досить багато корисного. Дійсно:
- За допомогою теорії можна знайти довірчі інтервали для даної випадкової величини. Якщо, наприклад, уже доведено, точніше прийнята гіпотеза про нормальний розподіл, то знаючи середньоквадратичне відхилення можна з впевненістю до 5% вважати, що виявиться поза діапазоном (Mx – 3Sx) ... (Mx + 3Sx), або у нашому прикладі про виторг з ймовірністю 0.05 буде <$90 або >$140. Слід погодитись із своєрідністю теоретичного висновку, за яким стверджується не той факт, що виторг складе від 90 до 140 (з ймовірністю 95%), а тільки те, що сказано вище.
- Якщо в нас немає теоретичного підґрунтя, щоб прийняти який-небудь класичний розподіл, що буде придатним для нашої ВВ, то і тут теорія зробить нам послугу, тобто, дозволить перевірити гіпотезу про розподіл на підставі наявних у нас даних. Правда – вичерпної відповіді «Так» або «Ні» чекати не слід. Можна лише отримати ймовірність помилки, відкинувши вірну гіпотезу (помилка 1 роду) або ймовірність помилки, прийнявши помилкову гіпотезу (помилка 2 роду).
- Навіть такі «обмежені» теоретичні висновки сильно залежать від обсягу вибірки, тобто кількості спостережень, а також від «чистоти проведення експерименту», тобто від умов його проведення.