СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ

3.4 Кореляція випадкових величин

Прямим визначенням терміну кореляція є стохастичний, ймовірний іможливий зв’язок між двома (парна) або кількома (множинна) випадковими величинами.

Вище говорилося про те, що якщо для двох ВВ (X і Y) має місце рівність P(XY) = P(X)P(Y), то величини X і Y вважаються незалежними. Однак, якщо це не так!? Адже завжди важливим є питання – а наскільки залежить одна ВВ від іншої? І справа у властивому людям прагненні аналізувати що-небудь обов’язково у числовому вимірі. Зрозуміло, що системний аналіз означає безперервні обчислення, при цьому, використання комп’ютера змушує нас працювати з числами, а не поняттями.

Для числової оцінки можливого зв’язку між двома випадковими величинами Y (із середнім M_y і середньо-квадратичним відхиленням S_y) та Х (із середнім M_x і середньо-квадратичним відхиленням S_x) прийнято викори­сто­­вувати коефіцієнт кореляції:

$R_{xy}=\frac{{\displaystyle \sum \left(X_i-M_x\right)\cdot \left(Y_i-M_y\right)}}{n\cdot S_x\cdot S_y}$ (3.10)

Цей коефіцієнт може приймати значення від -1 до +1 залежно від тісноти зв’язку між даними випадковими величинами. Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, то X і Y називають некорельованими. Вважати їх незалежними зазвичай немає підстав.

Виявляється, що існують такі, як пра­вило, нелінійні зв’язки величин, для яких R_xy = 0, хоча величини і залежать одна від одної. Зворотне завжди вірне – якщо величини незалежні, то R_xy = 0. Однак, якщо модуль R_xy = 1, то є всі підстави думати про наявність лінійного зв’язку між X і Y. Саме тому часто говорять про лінійну кореляцію під час застосування такого способу оцінки зв’язку між ВВ.

Відзначимо ще один спосіб оцінки кореляційного зв’язку двох випад­кових величин. Якщо додати добутки відхилень кожної з них від свого середнього значення, то отриману величину

C_xy = S(X – M_x)(Y – M_y), (3.11)

або ковариацію величин X і Y відрізняє від коефіцієнта кореляції два показ­ники: по-перше, усереднення (ділення на число спостережень або пар X, Y) і, по-друге, нормування шляхом ділення на відповідні середньоквад­ра­тичні відхилення. Така оцінка зв’язків між ВВ у складній системі є одним з початкових етапів системного аналізу, і тому вже тут постає питання про довіру до висновку про наявність або відсутність зв’язків між двома ВВ.

У сучасних методах системного аналізу зазвичай діють таким чином. За знайденим значенням R обчислюють допоміжну величину

W = 0.5 Ln[(1 + R) / (1 – R)], (3.12)

і питання про довіру до коефіцієнта кореляції зводять до довірчих інтервалів випадкової величини W, що визначаються стандартними таблицями або формулами.

В окремих випадках під час системного аналізу доводиться вирішувати питання про зв’язки кількох (більше 2) випадкових величин або питання про множинну кореляцію. Так, наприклад, нехай X, Y і Z – випадкові величини, під час спостереження за якими ми встановили їх середнє M_x, M_y, M_z і середньо-квадратичні відхилення S_x, S_y, S_z. Тоді можна знайти парні коефіцієнти кореляції R_xy, R_xz, R_yz за наведеною вище формулою. Однак, цього явно недостатньо, адже на кожному з трьох етапів ми забували про наявність третьої випадкової величини. Тому у випадках множинного кореляційного аналізу іноді потрібно відшукувати так званні часткові коефіцієнти кореляції, наприклад, оцінка впливу Z на зв’язок між X і Y здійснюється за допомогою коефіцієнта

$R_{xy.z}=\frac{R_{xy}\text{− }{R}_{xz}\cdot R_{yz}}{\sqrt{\left(\text{1−}{\left(R_{xz}\right)}^2\right)\cdot \left(1-{\left(R_{yz}\right)}^2\right)}}$, (3.13)

І, нарешті, можна підняти питання. А який же є зв’язок між даною ВВ і сукупністю інших? Відповідь на це дають коефіцієнти множинної кореляції R_x.yz, R_y.zx, R_z.xy, формули для обчислення яких аналогічні тим же прин­ципам, тобто, із врахуванням зв’язків однієї з величин із всіма іншими у сукупності.

На складність обчислень всіх описаних показників кореляційних зв’язків можна не звертати особливої уваги. Програми для їх розрахунку досить прості і існують у готовому вигляді у багатьох програмах приклад­ного забезпечення сучасних комп’ютерів. Достатньо зрозуміти лише головне – якщо для формального опису елементів складної системи, сукупності таких елементів у вигляді підсистеми або системи у цілому, ми розгляда­ємо зв’язки між окремими її частинами, то степінь тісноти зв’язків у вигляді впливу однієї ВВ на іншу можна і потрібно оцінювати на рівні кореляції.

Наприкінці відзначимо ще одне. В усіх випадках системного аналізу на кореляційному рівні обидві випадкові величини за умови парної або мно­жин­ній кореляції вважаються «рівноправними». Тобто, мова йде про взаємний вплив ВВ одна на одну. Так буває далеко не завжди і часто питання про зв’язки X і Y ставиться інакше – тобто, чи є одна з величин функцією від іншої величини (аргументу).