СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ

3.11 Регуляризація задачі прийняття рішень

Відповідно до стратегії Байєса, якщо у досліджуваного об’єкта (системи) зміряне значення ознаки x = х⁰, то ω ∈ Ω₁ при х⁰ ≤ х₀ і ω ∈ Ω₂ при х⁰ > х₀. Хоча розв’язання х = х⁰ і забезпечує мінімум середнього (байєсівського) ризику, тобто, R(x₀) = min R(х), таке правило прийняття рішень за наявності помилок вимірювання є нестійким.

Якщо значення ознаки х вимірюється з деякою точністю ∂х, то для діапазону його модифікації (х_о – ∂х, х_о + ∂х) рішення, що приймається за значенням х = х⁰ (вибраний клас), може відрізнятися від того, що відповідає істинному значенню ознаки х. Тому, область значень ознаки (х_о – ∂х, х_о + ∂х) може бути названа областю нестійкості стратегії мінімизації середнього ризику (стра­тегії Байеса).

Загальний підхід до некоректних задач, що мають нестійкі рішення, запропоновано академіком А. Н. Тихоновым, що полягає у їх регулюванні, тобто, у такій модифікації, за якою знову отримана задача є близькою до вихідної і характеризується властивістю тривалості. Щодо даної задачі системного аналізу цей підхід можна реалізувати таким чином.

Трансформуємо вищенаведене правило прийняття рішень таким чином, щоб в межах зони нестійкості (х_о – ∂х, х_о + ∂х) алгоритм відмовляється від прийняття будь-якого рішення. За зоною нестійкості, якщо зміряне значення ознаки дорівнює х = х⁰, то приймається рішення ω ∈ Ω₁ при х⁰ ≤ х₀ – ∂х або рішення ω ∈ Ω₂ при х⁰ > х₀ + ∂х.

Використання такого алгоритму виключає нестійкі рішення задачі за рахунок того, що з’являються такі значення ознаки х = х ± ∂х, в межах яких алгоритм не дає відповіді на питання про те, до якого класу слід віднести досліджуваний об’єкт або систему.

Регулярізація задачі прийняття рішень прводить до того, що зменшуються помилки першого і другого роду:

Q₁^p = _x0+δx∫^∞f₁(x)dx = Q₁ – _x0∫^x0+δxf₁(x)dx,(3.56)

Q₂^p = _–∞∫^x0+δxf₂(x)dx = Q_{2  x0–δx}∫^x0f₂(x)dx,(3.57)

а також зменшується і регулярізоване значення середнього байесівського ризику:

R_min^p = P(Ω₁)[с_11 –∞∫^x0–δxf₁(x)dx + с_{12  x0+δx}∫^∞f₁(x)dx]
+ P(Ω₂)[с_22 x0+δx∫^∞f₂(x)dx + с_21 –∞∫^x0+δxf₂(x)dx],(3.58)

при цьому:

ΔR = R_min – R_min^p = P(Ω₁)[с_11 x0–δx∫^x0f₂(x)dx + с_12 x0∫^x0+δx f₁(x)dx]
+ P(Ω₂)[с_22 x0∫^x0+δxf₂(x)dx + с_11 x0–δx∫^x0f₂(x)dx],(3.59)

Оцінимо ймовірність відмови системи від встановлення класу, до якого можна віднести досліджуваний об’єкт або систему. Ця ймовірність відмови

P_ВІД = P(Ω₁) _x0–δx∫^x0+δxf₁(x)dx + P(Ω₂) _x0–δx∫^x0+δxf₂(x)dx,(3.60)

залежить безпосередньо від точності вимірювання досліджуваної ознаки.

Очевидно, що слід прагнути по можливості минімізувати область нестійкості стратегії Байєса. Це може бути досягнуто за рахунок зменшення величини δх_j,  j = 1, ..., N. Проте, у загальному випадку це пов’язано із збільшен­ням витрат ресурсів, величина яких не може бути необмежена. При цьому, виникає питання – точність якого вимірювача слід підвищувати?

Інформативність ознак – це величина не абсолютна, а умовна. Тому, відповіді на поставлене питання, напевне, не існує. Однак евристична рекомендації прикладного характеру можуть полягати у такому. Передусім необхідно знайти найінформативнішу ознаку робочого словника ознак у припущенні, що він визначається на першій стадії експериментів. Доцільно забезпечити максимально можливу точність вимірювання цієї ознаки (наприклад х_l, l = 1, ...,< em>N). Далі слід визначити таку ознаку х_k, k = l, ..., N, k ≠ l, вимірювання якого вносить у системний аналіз найбільшу кількість інформації у припущенні, що на попередньому кроку визначена ознака х_j, тобто j = mах I (x_jl | x_i).

У цьому рівнянні кількість інформації підраховують для усіх можливих значень ознак х_k, х_l, х_j, k, I,  j = l, ..., N, k ≠ l ≠ j. Після цього процедура повторюється, тобто визначають I (x_r | x_k ,x_l) = max_j I (x_j | x_k x_l), r, k, l, j = 1, ..., N, k ≠ l ≠ j ≠ r.

Як правило, визначення вже декількох ознак виявляється достатнім для вирішення питання, що нас цікавить. Саме між вимірювачами, що призначені для визначення ознак x_l, x_k, х_r, доцільно розподілити основну частину ресурсів, що призначені для апаратурного забезпечення системного аналізу. При цьому слід підвищувати їх точностні характеристики, що забезпечить, у свою чергу, зменшення області нестійких рішень під час використання цих ознак.