3.10 Критерій послідовних рішень
Раніше припускалося, що рішення про приналежність об’єкту, що розпізнається, відповідному класу Ωi, i = i, ..., m, приймається після вимірювання усієї сукупності ознак об’єкту x1, ..., хn. Однак можливий й інший підхід до розв’язання цієї задачі: після вимірювання кожної чергової ознаки х1; х1, х2; х1, х2, х3 і т. д. включається алгоритм розпізнання і розв’язується задача прийняття рішення на основі даних про виміряні до поточного моменту ознаки досліджуваного об’єкту. При цьому, залежно від результатів порівняння отриманих значень з деякими встановленими заздалегідь границями, або вимірюється чергова ознака об’єкта ω, або припиняється подальше накопичення інформації про об’єкт. Така процедура розв’язання задачі прийняття рішень, що називається послідовною, зобов’язана своїм виникненням одному з розділів статистики – послідовному аналізу.
Послідовне і багатократне розв’язання задачі прийняття рішень з використанням на кожнім кроці усе зростаючого числа зміряних ознак особливо доцільно у випадках, коли визначення ознак пов’язано із витратами на проведення експериментів (процес накопичення експериментальних даних вимагає витрат значної кількості годин, проведення експериментів пов’язано з певним ризиком (наприклад, при порушенні медичного діагнозу), об’єкти ряду класів з їх загальної сукупності надійно розпізнаються за обмеженою кількістю ознак. Розглянемо сутніть послідовної процедури прийняття рішень.
Нехай множина прийняття рішень розділена на класи Qi, при цьому, робочий словник містить ознаки х1, ...,хn і функції умовної щільності розподілу ймовірностей будуть fі (x1); fi(x1, x2); ...; fi(x1, ..., x4,), i = l, 3.
Припустимо, що проведено серію з з n експериментів, у результаті яких визначено ознаки х1, ..., хn (n < N). Зіставимо відношення n-мірних функцій умовних щільностей розподілу ймовірностей λn = f1(x1, ..., xn) / f2(x1, ..., хn) з величиною А і В. При цьому будемо враховуватимо таке: якщо λn ≥ А, то проведення експериментів припиняється і приймається рішення про те, що ω ∈ Ω1, а якщо λn ≤ В, то проведення експериментів також припиняється і приймається рішення про те, що ω ∈ Ω3. Якщо ж В < хn < А, то приймається рішення, що експерименти необхідно продовжити і визначається чергова (n + 1)-а ознака досліджуваного об’єкта.
Постійні А і В, що називаються верхнім і нижнім порогом, можуть бути визначені з таких міркувань. Нехай після вимірювання n ознак λn = А, тоді, позначимо ‘xn’ = {x1, ..., хn}, і отримаємо fi(xn) = Af2(хn) або:
Gі∫f1(xn)dxn = A∫f2(xn)dxn(3.53)
де Gi – область простору ознак щодо класу Ω1.
За визначенням умовної ймовірності помилок першого і другого роду можна записати, що 1 – Q1 = AQ3. Аналогічні міркування приводять до співвідношення Q1 = B(1 – Q2). Звідси, у загальному випадку
А ≤ [(1 – Q1)/Q2], B ≥ [Q1/(l – Q2)] , (3.54)
Таким чином, для визначення порогів А і В необхідно задатися допустимими значеннями помилок першого і другого роду.
Якщо число класів прийняття рішень m > 2, то послідовна процедура така. Виходячи з того, що рішення будуть прийматися після розпізнавання невідомих об’єктів, задаються допустимі значення ймовірностей правільних (eii) і помилкових (eiq) рішень, що дозволяє визначити значення порогів для кожного класу, тобто:
А(і) = (1 – eii) / [q=1∏m(1 – eiq)]m–1, і = 1, ..., m; q ≠ (3.55)
Нехай у результаті проведення деякої сукупності експериментів визначено вектор ознак хn = {Х10, ..., xn0} і розраховано відношення ймовірностей:
λn(Xn0 | Qi) = fi(Xn0) [q=1∏mfn0(Xn0)]m–1(3.55)
Зіставимо λn(Xn0 | Ωi) з відповідним порогом А(Ωі), i = 1, ..., m. Якщо λn(Xn0 | Ωi) < A(Ωі), то приймається рішення про те, що ω ∈ Ωі. Якщо ж наявність апостеріорної інформації про знайдені ознаки не дозволяє виключити всі класи, окрім одного, то здійснюється наступний експеримент з метою визначення ознаки хn+1. Після цього визначається λn+1(xn+10 | Ωi) і здійснюєтьсяя його порівняння з порогом А(Ωі). Якщо при цьому знов не вдається встановити, що об’єкт відноситься саме до даного класу, то приймається рішення провести черговий експеримент з метою визначення ознаки хn+3.
Подібна процедура послідовного знаходження ознак – визначення коефіцієнту правдоподібності λI(xI0 | Ωi) , ..., λn(Xn0 | Ωi) і зіставлення його значення з порогом A(Ωі) здійснюється до тих пір, доки послідовним виключенням не вдасьться прийняти рішення про належність об’єкта саме до цього класу.