3. АЛГЕБРАЇЧНІ НЕРІВНОСТІ
3.1. Нерівності з однією змінною
Якщо число а менше або більше від числа b, то записують відповідно 
або 
. Наприклад, 
, 
. Число а вважається більшим від b, якщо різниця 
– число додатне; число а менше від b, якщо різниця 
– число від’ємне.
Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Розв’язком нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною обертається у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною – значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Дві нерівності називаються рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збігаються; зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків.
Основні теореми про рівносильні нерівності.
1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яке число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
3. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій; якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на від’ємне число, то рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту.
Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність виду 
(або 
) або така, яка зводиться до неї.
Якщо 
, то нерівність 
(
).
Для розв’язування нерівностей та систем нерівностей в області дійсних чисел слід використати команду solve() так, як і для розв’язування рівнянь і систем рівнянь. Відповідь виражається або у вигляді множини нерівностей, або через функції RealRange() і Open(). Перша визначає замкнений відрізок дійсних чисел, а друга використовується для вказання на те, що гранична точка не входить в побудований розв’язок. Для того, щоб задати розв’язок у вигляді множини, слід задати у вигляді множини або саму нерівність, або невідому, відносно якої потрібно знайти розв’язок. Якщо цього не зробити, то відповідь буде отримана з використанням вказаних функцій визначення дійсних відрізків.
Задамо нерівність в системі Maple:
> a*x
Потрібно звернути увагу на те, в якому вигляді в Maple задаються нестрогі нерівності
> a*x>=b;
Якщо 
, то нерівність 
(
).
Якщо 
, 
, то нерівність набуває вигляду 
і вона правильна для будь-якого 
(
).
Якщо , 
, то нерівність розв’язків немає.
Приклад 1. Розв’язати нерівність 
Розв’язання
Поділимо обидві частини нерівності на 4:
.
Приклад 2. Розв’язати нерівність 
Розв’язання
> solve(-3*x<=21,x);
> solve(-3*x<=21,{x});
В цих двох розв’язках можна прослідкувати відмінність форми виведення результату.
Приклад 3. Розв’язати нерівність 
Розв’язання
Перенесемо доданки зі змінними в одну частину, а вільні члени – в іншу частину: 
.
Приклад 4. Розв’язати нерівність 
.
Розв’язання.
Розкриємо дужки: 
,
зведемо подібні доданки: 
(6,6; 
).
Система нерівностей 
справедлива в тому і тільки в тому випадку, коли обидві її нерівності справедливі. Прикладом справедливої системи нерівностей є система 
а несправедливої – система 
Аналогічний зміст має і система нестрогих нерівностей і система кількох (більше двох) нерівностей.
Подвійна нерівність 
справедлива тоді і тільки тоді, коли справедлива система нерівностей 
При розв’язуванні систем лінійних нерівностей, що складаються з двох нерівностей, можна зображати розв’язування за допомогою двох числових осей або за допомогою однієї осі, за допомогою дуг або без дуг, без допомоги штриховок або за допомогою штриховок, наносячи штриховки, які мають різний кут нахилу відносно числової прямої, знизу і згори або тільки згори (знизу).
Сукупність нерівностей 
справедлива в тому і тільки в тому випадку, коли справедлива хоча б одна з її нерівностей. Наприклад, сукупність нерівностей 
справедлива, а сукупність нерівностей 
– несправедлива.
Приклад 5. Розв’язати подвійну нерівність: 
Розв’язання
Дану подвійну нерівність можна записати у вигляді системи двох нерівностей:
Розв’язування нерівностей можна показати геометрично на числовій осі. Так, якщо ми маємо строгу нерівність 
, то геометрично ця множина зображається у вигляді тієї частини числової прямої, яка лежить праворуч від точки з абсцисою 
. При цьому правіше точки 
зазвичай зображають у вигляді світлового кружечка (говорять, що точку 
«виколюють»).
(а; 
).
Якщо маємо нестрогу нерівність 
, то на числовій осі наносять штриховку ліворуч від точки 
, при цьому точку 
звичайно зафарбовують в чорний колір, тобто зображають темною точкою. 
.
На прикладі системи нерівностей покажемо чотири варіанти геометричної інтерпретації:
Приклад 6. Розв’язати систему нерівностей і знайти всі її цілі розв’язки 
Розв’язання
1-й варіант (з використанням двох числових осей):
2-й варіант (з використанням однієї числової осі і штриховок знизу і згори осі):
3-й варіант (з використанням однієї осі, дуг і штриховок).
Шукана множина зображена подвійною штриховкою за допомогою накладання двох штриховок.
4-й варіант (з використанням однієї осі і дуг):
Штриховку наносимо лише там, де задані множини пересікаються.
Цілими розв’язками даної системи є значення – 3 ; – 2; – 1; 0; 1.
Відповідь: 
; – 3 ; – 2; – 1; 0; 1.
> solve({2*x-1<3,3*x+2>=-7},{x});
Відповідь, яку видала система, правильна, але отриманий розв’язок не є раціональним, тому що потрібно самому шукати цілі розв’язки системи нерівностей. В Maple існує вбудована функція isolve, яка знаходить цілі розв’язки рівнянь і нерівностей. Розв’язання останнього прикладу за її допомогою:
> isolve({2*x-1<3,3*x+2>=-7},{x});
