3.2. Квадратні нерівності

Нехай потрібно розв’язати нерівність (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні нерівностей ). У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена потрібно розглянути два випадки:

1) Якщо , а старший коефіцієнт а додатний, то при всіх значеннях х виконується нерівність .

2) Якщо , то для розв’язання нерівності потрібно розкласти квадратний тричлен на множники за формулою , потім поділити обидві частини нерівності на число а, зберігши знак нерівності, якщо , і змінивши знак нерівності на додатний, якщо , і перейти до нерівності .

Приклад 7. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Розв’язавши квадратне рівняння , одержимо корені . Тоді квадратний тричлен розкладеться на такі множники: .

Звідси,

Відповідь:

> solve({x^2-5*x+6>0},{x});

Квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків). В його основі лежить така властивість двочлена : точка ділить числову вісь на дві частини – праворуч від точки ? двочлен , а ліворуч від точки ? .

Приклад 8. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Многочлен перетворюється в нуль у точках Ці точки розбивають координатну пряму на проміжки ( 1),

(1; 3), (3; ), усередині кожного з яких функція зберігає знак.

Оскільки в проміжку (3; ) співмножники додатні, то їхній добуток додатний, тобто . Відзначимо проміжок (3; ) знаком “+”. Далі знаки в проміжках чергуються. Проводимо через визначені точки “криву знаків”. На тих проміжках, де ставиться знак “+”, виконується нерівність ; на тих проміжках, де знак “– “, виконується нерівність . Отже, розв’язком початкової нерівності є об’єднанням проміжків: ( 1), (3; ).

Відповідь: ( 1)(3; ).

Приклад 9. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Якщо прирівняти до нуля многочлен , то дискримінант виявиться від’ємним. А це означає, що квадратний тричлен додатний при всіх дійсних значеннях змінної х, тому при нерівність розв’язків не має.

Відповідь: нерівність розв’язків не має.

Приклад 10. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Многочлен є невід’ємним при будь-якому дійсному значенні змінної х, тому нерівність справджується при всіх дійсних значеннях змінної х, крім 4.

Відповідь:

> factor(x^2-8*x+16>0);

> solve({x^2-8*x+16>0},{x});

Приклад 11. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Многочлен перетворюється в нуль в точках . Ці точки розбивають координатну пряму на чотири проміжки. Оскільки даний многочлен містить множник у парному степені – це , то при переході «змійки» через “0” знак не буде змінюватись. Зазначимо, що точка входить у множину розв’язків, тому що при дістаємо .

Відповідь: .

Приклад 12. Розв’язати нерівність

Розв’язання

Наносимо точки 6; 2; 0; –1; –5 на числову вісь. Відзначимо точки і , при переході через них «змійки» знаки не будуть змінюватись. За допомогою «кривої знаків» дістаємо розв’язки, які позначені на рисунку зі знаком «+».

> solve({((x-6)^2*(x-2)*x)/(x+1)^4*(x+5)>=0},{x});