8.9. Властивості тригонометричних функцій

8.9.1. Парність і непарність тригонометричних функцій

Якщо при повороті навколо точки О на кут початковий радіус ОА переходить у радіус ОВ, то при повороті на кут початковий радіус ОА перейде у радіус , симетричний ОВ відносно осі абсцис (рис. 16).

Абсциси точок В і рівні, а ординати рівні за модулем, але протилежні за знаком. Це означає, що , ,

, . Таким чином, функції , , непарні, а функція парна.

Приклад 20. Дослідити на парність функції: а) ;

б) ; в) .

Розв’язання

а)

функція є непарною.

б) функція є парною.

При дослідженні функції на парність можна скористатися системою Maple, замінивши незалежну змінну х на –х у прикладі в):

> f:=x->sin(2*x)*cos(5*x);

> f(-x);

Очевидно, що функція є непарною.

8.9.2. Періодичність тригонометричних функцій

Для періодичної функції виконується рівність , де Т – відмінне від нуля число, назване періодом функції. Кожна періодична функція має велику кількість періодів, тобто якщо Т – період, то пТ – період, де , . Звичайно, говорячи про період, мають на увазі найменший додатний період, який називається основним. Основними періодами для тригонометричних функцій є: для функцій , ; для функцій , . У більш загальному вигляді можемо записати: , , , , .

Якщо кути виражаються в радіанах, то – основний період функцій , ; – основний період функцій , .

Відомо, що періоди функцій і обчислюються за формулою , а періоди функцій і – за формулою .

Якщо період функції дорівнює , а період функції дорівнює , то період функції і дорівнює найменшому числу, при діленні якого на і дістаємо цілі числа.

Приклад 21. Знайти період функції: а) ; б) ;

в) .

Розв’язання

а) Період функції дорівнює .

б) Для того, щоб знайти період функції , потрібно застосувати формули пониження степеня: , тобто . Період функції , а отже і даної функції є число .

в) Знаходимо періоди доданків. Період функції дорівнює , а період функції дорівнює . Очевидно, що період заданої функції дорівнює .

8.10. Властивості функцій і та їх графіки

Таблиця 5 – Властивості функцій і

Графік функції називається синусоїдою (рис. 17), а графік функції – косинусоїдою (рис. 18).

8.11. Властивості функцій і та їх графіки

Таблиця 6 – Властивості функцій і

Графік функції називається тангенсоїдою (рис. 19), а графік функції – котангенсоїдою (рис. 20).