9.4. Рівняння, які розв’язуються пониженням степеня

Якщо тригонометричні рівняння містять , в парному степені, то застосовують формули пониження степеня , .

Приклад 13. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

.

Кожний множник отриманого рівняння прирівнюємо до нуля і знаходимо його корені: ; .

Відповідь: .

9.5. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь, а також рівнянь, які зводяться до однорідних тригонометричних

Однорідні тригонометричні рівняння – це рівняння виду

                                        (1)

і .                         (2)

Розв’язуються вони шляхом ділення обох частин рівняння на для рівняння виду (1) і на для рівняння виду (2).

Приклад 14. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Поділимо обидві частини рівняння на :

Перевіримо, чи не є коренем початкового рівняння: . Отже не є коренем нашого рівняння.

Відповідь: .

> solve((sin(x))^2-2*sin(x)*cos(x)-3*(cos(x))^2);

Приклад 15. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Розв’яжемо перше рівняння сукупності: .

Друге рівняння сукупності є однорідним тригонометричним, тому поділимо обидві частини рівняння на : .

Оскільки права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину розглянути як функцію, то графічно розв’язками рівняння будуть абсциси точок перетину графіка функції з віссю ОХ.

> plot(3*sin(x)*cos(x)-2*(cos(x))^2,x=-6..6,-4..2);

Відповідь: .

9.6. Розв’язування тригонометричних рівнянь за допомогою універсальної підстановки

При розв’язуванні рівнянь виду зручно застосову-вати універсальну підстановку . Тоді функції , нескладно виражаються через за такими формулами:

, .

Оскільки використання універсальної підстановки можливе лише при , то потрібно перевіряти, чи не є числа виду розв’язками початкового рівняння.

Приклад 16. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Зробимо підстановку , .

Тоді .

Значить .

Перевіримо, чи не є розв’язком даного рівняння : .

Відповідь: .

Приклад 17. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Можна замінити через х, а потім зробити підстановку , . Тоді або . Повернувшись до підстановки (а) або (б), розв’яжемо по черзі рівняння (а) і (б):

(а): ;

(б):

.

Перевіримо, чи не є розв’язком даного рівняння : .

Відповідь: .

> solve(3*sin(5*z)-2*cos(5*z)=3,z);

Бачимо, що перша множина розв’язків ідентична тій, яку ми отримали, розв’язуючи дане рівняння вручну. Друга ж записана в іншому вигляді. Тому перевіримо, чи будуть числа множини розв’язком нашого рівняння:

> j:=3*sin(5*z)-2*cos(5*z)=3;

> eval(j,z=(2/5)*arctan(5)+2*Pi/5);

> evalf(%);

А також перевіримо, чи розв’язок, виданий системою, буде правильним:

> eval(j,z=-(1/5)*arctan(5/12)+Pi/5+2*Pi/5);

Робимо висновок, що і перший, і другий розв’язки є розв’язками нашого рівняння.