9.7. Метод введення допоміжного кута

Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скористатися формулою , де , . У цьому випадку називається допоміжним аргументом або допоміжним кутом.

Сенс методу полягає в тому, що деяку величину подають як тригонометричну функцію відповідного аргументу , а потім роблять тригонометричні перетворення.

Приклад 18. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

1-й спосіб:

.

У процесі розв’язування ми врахували той факт, що якщо , , то можна покласти таким, що дорівнює .

2-й спосіб:

.

Відповідь: .

Приклад 19. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Оскільки , то поділимо обидві частини нашого рівняння на 2 і введемо допоміжний кут:

. Даний розв’язок можна розписати як , якщо п – непарне або , якщо п – парне.

Відповідь: .

Розв’яжемо приклад 19 в системі Maple, застосовуючи smart-спосіб для розв’язування рівнянь:

> sqrt(3)*sin(x)-cos(x)=1;

> R0 := solve({sqrt(3)*sin(x)-cos(x) = 1});

Як бачимо, одержані в системі Maple розв’язки, є сукупностями коренів, які були отримані при непарному та парному п.

9.8. Розв’язування тригонометричних рівнянь способом підстановки

У деяких раніше розглянутих рівняннях застосовувалася заміна змінної, коли ці рівняння зводилися до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функцій. Розглянемо більш складні випадки заміни змінних.

Приклад 20. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Скористаємося формулою , тоді

. Зробимо заміну :

Повернемось до заміни:

Відповідь: .

Приклад 21. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Позначивши , дістанемо

. Тоді початкове рівняння запишеться у вигляді Повернемось до заміни:

                                             (1)

або     .                                             (2)

Найпростішим методом розв’язування рівняння (1) є метод введення допоміжного кута:

.

Друге рівняння сукупності (2) розв’язків не має, оскільки , а число .

Відповідь: .

> solve(4-4*(cos(x)-sin(x))-sin(2*x)=0,x);

Перші дві серії коренів відповідають розв’язку, отриманому «вручну», останні дві містять уявну одиницю, тому ними можна знехтувати.