3.4 Похідні та диференціали вищих порядків
(higher derivative, higher-order differential)
Нехай функція 
диференційовна
на проміжку X, а 
- її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує
на заданому проміжку. Похідна від похідної називається
похідною другого порядку (second-order derivative) функції і
позначається одним із символів:
.
Так у фізиці, якщо 
- закон, за яким змінюється пройдений шлях при
прямолінійному русі точки, то 
є прискоренням (acceleration) цієї
точки в момент часу t.
Аналогічно 
і т. д.
Взагалі похідною n-го
порядку від функції називається похідна від похідної 
-го порядку і позначається
, або 
, або 
.
Зауваження. При 
, похідну n-го порядку позначають відповідно 
; при
позначають: 
або 
.
Приклад 3.17. Знайти похідну другого порядку від функції
.
Розв’язання. Знаходимо спочатку 
за
формулою 
.
.
Знаходимо похідну від отриманої функції:
,
тобто 
.
Приклад 3.18. Знайти похідну n-го
порядку від функції 
.
Розв’язання.
.
Формула Лейбніца. Якщо функції 
, 
мають похідні до n-го порядку включно, то для обчислення похідної n-го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:
. (3.14)
Похідні вищих порядків від функцій, заданих
параметрично. Якщо
функції 
і 
параметрично
задають функцію 
, то похідні 
,
,
можна послідовно обчислити за формулами:
, 
і т. д.
Так, для похідної другого порядку має місце формула:
. (3.15)
Приклад 3.19. Знайти
похідну 
функції ,
заданої параметрично: 
, 
.
Розв’язання.
.
за формулою (3.15)
.
Диференціали вищих порядків. Нехай функція диференційовна
на проміжку X. Її диференціал
називається також диференціалом першого порядку і його можна
розглядати як функцію змінної x (приріст аргументу 
вважається
сталим).
Означення 3.4. Диференціалом другого порядку (second differential) функції в
точці x називається диференціал від її диференціала
першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім ) і позначається 
:
.
За означенням маємо
,
позначають 
. Таким чином
. (3.16)
Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається 
), n=2,3,...
називається диференціал від диференціала порядку за
умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости незалежної змінної x. Тобто
.
При цьому справедлива формула:
. (3.17)
Приклад 3.20. Обчислити , якщо 
.
Розв’язання. Скористаємось формулою (3.16). Для цього знайдемо 
:
, 
.
Отже
.
Питання для самоперевірки
1. Що називають похідною функції в точці.
2. У чому полягає геометричний зміст похідної функції?
3. Який фізичний зміст похідної?
4. Чи буде диференційовна в точці функція неперервною в цій точці? Чи справедливе обернене твердження?
5.
Пригадайте таблицю
похідних основних елементарних функцій. Спробуйте за означенням вивести формулу
.
6. Сформулюйте і доведіть теорему про похідні суми, добутку, частки двох диференційовних функцій.
7. Сформулюйте і доведіть теорему про похідну складеної функції.
8.
Сформулюйте і доведіть
теорему про похідну оберненої функції. Спробуйте за допомогою цієї теореми вивести
похідну для функції 
, якщо відомо, що 
.
9. Назвіть випадки, коли доцільно використовувати логарифмічне диференціювання. В чому полягає цей метод?
10. Дайте означення диференціала функції в точці.
11. У чому полягає геометричний зміст диференціала функції?
12.
В чому полягає властивість
інваріантності форми першого диференціала? Поясніть на прикладі складеної
функції 
.
13. Як знаходити похідну функції, що задана параметрично?
14. Як використовується диференціал у наближених обчисленнях?
15.
Що називається похідною n-го порядку? Знайдіть формулу для похідної n-го порядку функції 
.
16. Що називається диференціалом 2-го порядку?