Дуги окружностей, как и отрезки прямых, относят к наиболее распространенным графическим примитивам. Существует несколько методов задания исходных данных для кругового интерполирования. Одной из возможных форм описания окружности есть задание ее в полярной системе координат   

X = X_C + R× cosQ

Y = Y_C + R× sinQ

где X_c,Y_c – координаты центра окружности, R – радиус окружности, Q – полярный угол.

Наиболее часто указывают направление движения (за или против часовой стрелки), приращения координат начальной и конечной точки дуги окружности относительно его центра, а также координаты начальной точки дуги в экранной системе координат (рис.1.9). 

Рис. 1.9. Задание дуги окружности. 

При реализации кругового интерполирования необходимо учитывать:

*  окружность это симметричная фигура, что позволяет существенно сократить время вычислений, поскольку для получения всех точек окружности достаточно сформировать их лишь для одного октанта;

*  необходимо проводить анализ перехода через границы октантов, поскольку при этом изменяется направление шаговых приращений (см.рис.1.10). 

Рис. 1.10. Типы шаговых приращений

За счет погрешности интерполирования, а также округлений при определении начальной и конечной точек дуги существует вероятность не попадания в конечную точку дуги, что обусловливает необходимость введения в вычислительный процесс режима доводки в конечную точку.

Рассмотрим процедуру формирования окружности в полярной системе координат. Поскольку для вычисления координат точек окружности X, Y необходимо задавать дискретные значения полярного угла, то возникает проблема рационального выбора шага приращения этого угла – DQ. При малом шаге время построения окружности увеличивается, но обеспечивается высокая точность воспроизведения окружности. При большом значении DQ качество воспроизведения ухудшается, но время построения уменьшается.

Исходя из дискретной структуры растра, можно утверждать, что минимальное расстояние между соседними точками окружности не может быть меньше чем 1. Следовательно, все точки окружности без пропусков будут воспроизведенные при условии, что шаг приращения полярного угла будет выбираться из условия:

Для сокращения времени формирование окружности из вычислительной процедуры желательно исключить громоздкое вычисление тригонометрических функций cosQ и sinQ. Для этого вычислим очередную i+1 точку окружности в виде: 

X_i+1 = R×Cos(Q+DQ)

Y_i+1 = R×Sin(Q+DQ)

После замены получим:

X_i+1 = X_c + (X_i – X_c)CosDQ – (Y_i – Y_c)SinDQ

Y_i+1 = Y_c + (X_i – X_c)SinDQ – (Y_i – Y_c)CosDQ

Полученные рекуррентные соотношения для данного подхода обеспечивают максимальную скорость вычислений, так как значения sinDQ и cosDQ рассчитываются только один раз.

Согласно прямого метода, координаты точек траектории дуги определяются с использованием выражения вида:   

Х²+Y²=R²,

где Х, Y – текущие точки окружности, а R – ее радиус.

При Х³В значение абсциссы последовательно увеличивают на единицу, а ординату вычисляют по формуле 

Y = Ö ( R² – X²)

а при Х<Y для текущего Y вычисляют значения  

Y = Ö ( R² – H²)

Погрешность интерполирования определяется количеством разрядов, отведенных для вычисления, а также способом округления. Относительная сложность вычислений существенно ограничивает применение приведенных методов.

Траекторию окружности можно сформировать путем ее представления совокупностью хорд. Погрешность интерполирования определяется количеством хорд, которые были взяты для аппроксимации.

Для некоторых применений такой метод приемлемый, например, при работе с окружностями в трехмерной среде. Однако окружности, построенные с помощью хорд, не является достаточно сглаженными. 

Рис. 1.11. Принцип формирования оценочной функции.

Для реализации функции кругового интерполирования наиболее часто используют метод оценочной функции. Вид оценочной функции выбирают таким образом, чтобы внутри и за окружностью она имела противоположные знаки, а на самой окружности – нулевое значение. Таким требованиям отвечает функция вида:

U_ij = X² + Y² – R²