1. Методы и алгоритмы формирования контурных изображений

1.4. Интерполяция и аппроксимация кривых произвольного типа

1.4.1. Формы задания кривых

В задачах машинного проектирования используются две формы задания кривых – аналитическая и параметрическая.

Аналитическая форма предполагает задание кривой в виде уравнения Y=F(x) с использованием обычных однозначных функций.

Форма большинства объектов в технике не зависит от системы координат. Если необходимо восстановить кривую или поверхность по множеству отдельных точек, полученных в результате измерений на модели, то важным фактором, который определяет форму объекта, будет соотношение между самими этими точками, а не между точками и произвольно выбранной системой координат. Очень часто необходимо, чтобы выбор системы координат не влиял на форму. Кроме того, формы инженерных объектов могут иметь вертикальные касательные. Если бы такая форма была представленная обычной функцией вида Y=F(x), то наличие вертикальных касательных сделало бы невозможной аппроксимацию этой формы многочленами. Следует отметить, что кривые и поверхности в машинной графике часто оказываются неплоскими или замкнутыми, что вообще не дает возможность их представить в виде функций. Поэтому, важную роль имеет представление формы в параметрическом виде, когда кривая на плоскости представляется не функцией вида Y=F(x), а парой функций X=X(t), Y=Y(t) от параметра t.

Параметрическая форма разрешает устранить указанные выше недостатки. Кроме того, две функции X=X(t), Y=Y(t) могут быть использованы как функции управления для отклоняющей системы электронно-лучевой трубки или сервосистемы графопостроителя.

Для формирования кривых используют методы интерполирования и аппроксимации. Задача интерполяции сводится к нахождению некоторой аналитической функции, которая точно проходит через заданные точки. Во многих случаях сформированная по базовым точкам кривая недостаточно сглажена, например, имеет волнистость.

Понятие точности для большинства задач интерактивного конструирования объектов не имеет смысла. Для них в особенности важными есть форма объекта, его гладкость. В этом случае применяют методы аппроксимации, под которыми понимают нахождение по множеству базовых точек такой функции, которая проходит в непосредственной близости от заданных точек. Задача аппроксимации возникает при замене кривой, заданной уравнениями функций сложной природы (например, с точки зрения скорости расчета ее значений и производных, интегрирования, дифференцирования), другой кривой, близкой к заданной, уравнения которой более простые.

Кривую возможно построить путем:

*  интерполированием или аппроксимацией по точкам;

*  деформацией кривой (перемещение точки, изменение полинома);

*  вычислением эквидистанты к заданной кривой;

*  формированием разомкнутого или замкнутого контура из отрезков или дуг кругов на плоскости;

*  вычислением конических сечений (эллипс, парабола и т.д.);

*  вычислением сечения поверхностей;

*  соединением кривых. 

Контрольные  вопросы.

1.  В каких случаях используют аналитическое и параметрическое задание кривых?

2.  Чем интерполирование отличается от аппроксимации?

3.  Какими методами возможно построить кривую?

     Содержание