Дуги кіл , як і відрізки прямих , відносять до найбільш поширених графічних примітивів. Існує декілька методів завдання вихідних даних для кругового інтерполювання. Однією з можливих форм опису кола є завдання її в полярній системі координат    

X = X_C + R·cosQ

Y = Y_C + R·sinQ

де X_c,Y_c – координати центра кола, R – радіус кола, Q – полярний кут.

Найчастіше вказують напрямок руху (за чи проти годинниковою стрілкою), прирости координат початкової та кінцевої точки дуги кола відносно його центру, а також координати початкової точки дуги в екранній системі координат (рис. 1.9. ). 

Рис. 1.9. Задання дуги кола. 

При реалізації колового інтерполювання необхідно враховувати:

*  коло є симетричною фігурою, що дозволяє суттєво скоротити час обчислення, оскільки для отримання всіх точок кола досить сформувати їх лише для одного октанта;

*  необхідно проводити аналіз переходу через границі октантів, оскільки при цьому змінюється направлення крокових приростів (див. рис.1.10. ). 

Рис. 1.10. Типи крокових збільшень

За рахунок похибки інтерполювання, а також округлень при визначені початкової та кінцевої точок дуги існує ймовірність не попадання в кінцеву точку дуги, що обумовлює необхідність ведення в обчислювальний процес режиму доведення в кінцеву точку дуги. Розглянемо процедуру формування кола в полярній системі координат. Оскільки для обчислення координат точок кола X, Y необхідно задавати дискретні значення полярного кута, то виникає проблема раціонального обрання кроку приросту цього кута – DQ. При малому кроці час побудови кола збільшується, але забезпечується висока точність відтворення кола. При великому значенні DQ якість відтворення погіршується, але час побудови зменшується. Виходячи з дискретної структури растра, можна стверджувати, що мінімальна відстань між сусідніми точками кола не може бути меншим від 1. Отже всі точки кола, без пропусків, будуть відтворені, за умови, що крок приросту полярного кута обиратиметься із умови:

Для скорочення часу формування кола із обчислювальної процедури бажано виключити громіздке обчислення тригонометричних функцій cosQ і sinQ. Для цього обчислимо чергову i+1 точку кола у вигляді: 

X_i+1 = R·Cos(Q+DQ)Y_i+1 = R·Sin(Q+DQ)

Після заміни отримаємо:

X_i+1 = X_c + (X_i – X_c)CosDQ – (Y_i – Y_c)SinDQY_i+1 = Y_c + (X_i – X_c)SinDQ – (Y_i – Y_c)CosDQ

Отримані рекурентні співвідношення для даного підходу забезпечують максимальну швидкість обчислень , так як значення sinDQ и cosDQ &розраховуються лише один раз. Згідно прямого методу , координати точок траєкторії кола визначаються з використанням виразу виду:   

Х²+Y²=R²,

де Х, Y – поточні точки кола, а R – його радіус.При Х≥В значення абсциси послідовно збільшують на одиницю, а ординату обчислюють по формулі 

Y=√ R²+X²

а при Х<Y для поточного Y обчислюють значення  

Y=√ R²+H²

Похибка інтерполювання визначається кількістю розрядів, відведених для обчислення ,а також способом округлення . Відносна складність обчислень суттєво обмежує застосування приведених методів.Траєкторію кола можна сформувати шляхом її представлення сукупністю хорд. Похибка інтерполювання визначається кількістю хорд, які були взяті для апроксимації. Для деяких застосувань такий метод є прийнятним, наприклад при роботі з колами в трьохвимірному середовищі. Однак кола, побудовані за допомогою хорд не є достатньо згладженими. 

Рис. 1.11. Принцип формування оцінювальної функції.

Для реалізації функції колового інтерполювання найбільш часто використовують метод оцінювальної функції . Вид оцінювальної функції вибирають таким чином, щоб всеридині та за колом вона мала протилежні знаки, а на самому колі- нульове. Таким вимогам відповідає функція виду:

U_ij = X² + Y² – R²

При U≥0 (рис.1.11) виконують інтерполяційний крок вздовж oci Y, а при U<0 – вздовж осі X. Після кроку по осі X нове значення оцінювальної функції знаходять, підставляючи в формулу для U_ij замість X_i величину X_i+1=X_i+1. Тоді

U_i+1,j = (X_i + 1)² + Y_i² – R² = X_i² + Y _i² – R² + 2X_i + 1 = U_ij + 2X_i + 1

Після кроку по осі Y нове значення оцінювальної функції можна визначити, підставивши у формулу для U_ij замість Y_i величину Y_i+1=Y_i–1. Тоді значення оцінювальної функції після кроку по оci Y буде дорівнювати: