1. Методи та алгоритми формування контурних зображень

1.4. Інтерполяція та апроксимація кривих довільного типу

1.4.1. Форми завдання кривих

В задачах машинного проектування знайшли дві форми завдання кривих – аналітична та параметрична.

Аналітична форма передбачує завдання кривої в в вигляді рівняння Y=F(x) з використанням звичайних однозначних функцій.

Форма більшості об’єктів в техніці не залежить від системи координат. Якщо необхідно відновити криву або поверхню по множині окремих точок, отриманих в результаті вимірювань на моделі, то важливим фактором , який визначає форму об’єкта, буде співвідношення між самими цими точками, а не між точками і якою-небудь довільно вибраною системою координат. В багатьох застосуваннях необхідно, щоб вибір системи координат не впливав на форму. Крім того, форми інженерних об’єктів можуть мати вертикальні дотичні. Якщо &така форма була б представлена звичайною функцією виду Y=F(x), то наявність вертикальних дотичних зробило б неможливою апроксимацію цієї форми багаточленами. Слід відмітити, що криві та поверхні в машинній графіці часто є неплоскими або замкнутими, що взагалі не дає можливість їх представити в вигляді функцій. Тому, важливу роль відіграє представлення форми в параметричному виді, коли крива на площині представлена не функцією виду Y=F(x), а парою функцій X=X(t), Y=Y(t) від параметра t.

Параметрична форма дозволяє ліквідувати вказані недоліки. Крім того, дві функції X=X(t), Y=Y(t) можуть бути використані як функції управління для відклоняючої системи eлектронно-променевої трубки або сервосистеми графопобудувача.

Для формування кривих використовують методи інтерполювання та апроксимації. Задача інтерполяції зводиться до знаходження деякої аналітичної функції, яка точно проходить через задані точки. В багатьох випадках сформована за базовими точками крива є недостатньо згладженою, наприклад, має хвилястість.

Поняття точності для більшості задач інтерактивного конструювання об’єктів не має сенсу. Для них особливо важливою є форма об’єкта, його згладженність. В цьому випадку застосовують методи апроксимації, під якими розуміють знаходження по совокупності базових точок такої функції, яка проходить в безпосередній близькості від заданих точок. Задача апроксимації виникає при заміні кривої, заданої рівняннями функцій складної природи (наприклад, з точки зору швидкості розрахунку її значень і похідних, інтегрування, диференціювання) іншою кривою, близькою до заданої, рівняння якої більш прості.

Криву можливо побудувати шляхом:

*  інтерполюванням або апроксимацією по точкам;

*  деформацією кривої (переміщення точки, зміна полінома);

*  обчисленням еквідістанти до заданої кривої;

*  формуванням розімкнутого або замкнутого контуру з відрізків або дуг кіл на площині;

*  обчисленням конічних перетинів (еліпс, парабола і т.д.);

*  обчисленням перетину поверхонь;

*  сполученням кривих. 

Контрольні   запитання.

1.  В яких випадках використовують аналітичне та параметричне завдання кривих ?

2.  Чим інтерполювання відрізняється від апроксимації ?

3.  Якими методами можливо побудувати криву ?

     Зміст