або 

X(t) = TC_x     (*),

де   T = [t³, t², t, 1], C = [a₀, a₁, a₂, a₃],

X(0) = P_1x = [0,0,0,1]C_x,

X(1) = P_4x = [1,1,1,1]C_x ,

X^/(t) = [3t², 2t, 1, 0]C_x,

X^/(0) = R_1x = [0,0,1,0]C_x,

X^/(1) = R_4x = [3,2,1,0]C_x.

P₁          0, 0, 0, 1

P₄          1, 1, 1, 1

R₁        0, 0, 1, 0

R₄       3, 2, 1, 0

Перевертаючи матрицю розміром 4x4, отримуємо

M_h – називається матрицею Ерміта, G_hх – геометричним вектором Ерміта.

Підставивши С_x в (*), отримаємо:  

X(t)=TMG.

Знайдемо добуток ТМ:

  TM=(2t³–3t²+1)(–2t³+3t²)(t³–2t²+t)(t³–t²).

Перемножуючи цей вираз справа на G_hx, отримаємо:

  X(t)=TM_hG_hx=P_1x(2t³–3t²+1)+P_4x(–2t³+3t²)+R_1x(t³–2t²+t)+R_4x(t³–t²)

Чотири отриманих функції іноді називаються функціями спряженості.

За допомогою перших двох функцій визначаються точки Р₁ і Р₄, а за допомогою решти отримаємо згладжене об’єднання. Причому, чим більший дотичний вектор, тим крутіша сама крива.

До недоліків такого підходу варто віднести необхідність завдання похідних у вузлах . Для їхнього обчислення використовують ряд підходів.

Найбільше просто використовувати замість похідних їхні наближені значення, отримані в результаті інших апроксимацій. Наприклад, для кожного вузла за значеннями функцій у найближчих2m вузлах будується багаточлен степені2m+1, похідні якого потім використовуються для побудови ермітового сплайна.

При завданні кривої у формі Безьє для знаходженян похідних P^/(t_i) и P^/(t_i+1) використовуються дві додаткових точки (рис. 1.17) R_i і R_i+1, які задають два датичні вектора P(t_i)R_i и P(t_i+1)R_i+1.  

Рис. 1.17. Знаходження похідних за методом Безьє

Похідні P^/(t_i) і P^/(t_i+1) визначаються п онаступним виразам:

R₁=3(P₂–P₁)=P’(0),

R₄=3(P₄–P₃)=P’(1).

Це співвідношення між матрицею Ерміта G_h та геометричною матрицею Бєзьє. Підставляючи отримані значення, знаходимо

X(t)=TM_hG_h =TM_hM_bG_b

Позначимо добуток M_hM_b через М отримаємо вираз X(t)=TMG_b, котрий зараз має форму Бєзьє.  

Форма Бєзьє використовується у машинній графіці частіше, ніж форма Ерміта . Причиною цьому є :

*  по-перше, у випадку форми Ерміта дотичні вектори повинні задаватися у явному вигляді. У формі Бєзьє дотичні находять “локатором”;

*  по-друге , у формі Бєзьє чотири точки задають випуклий багатокутник, що можна виконати гумовою ниткою.

Знайдемо Х = TM_bG_b.

X=TM_bG_b=(1–t)³P₁+3t(t–1)²P₂+3t³(1–t)P₃+t³P_4.

Можна показати, що сума всіх коефіцієнтів біля t дорівнює 1, що визначає оптимальне середнє значення для чотирьох керуючих точок.

Розроблено підхід, відповідно до якого похідні в проміжних точках знаходять шляхом рішення матричного рівняння виду:  

Підхід базується на рівності на межах інтервалів перший і других похідних. З приведеного матричного виразу знаходять похідні, подані другою матрицею в лівій частині рівняння. Таким чином, у даному підході в якості вихідних задаються всі базові точки, через які проходить крива, а також похідні в початковій і кінцевій точках.

Інші методи визначення відсутніх параметрів для побудови сплайнів базуються на накладенні деяких додаткових умов, що призводить до необхідності рішення системи рівнянь, що виражає ці умови.

У загальному випадку, коли в моменти часу e=0,1,2,… задано дискретні відліки сигналу x₀, x₁, x₂,…, &сплайн-функция, що відновлює дискретизованний сигнал n-го ступеня має вид :  

де B_n(e) – деякий сплайн степеня n (B-сплайн Шенберга), який називається ядром сплайна. Функція B_n(e) задається наступним чином:

де C – число сполучень із (n+1) по k.

При переході від інтерполяції багаточленами до інтерполяції сплайнами переслідуються дві цілі. Перша, це покращання якості наближення: при однакових обчислювальних витратах абсолютні похибки інтерполяції сплайнами менші, чим похибки інтерполяції багаточленами, а при однакових похибках зменшується обсяг обчислень. Сплайни дозволяють уникнути осцилляций. Для рішення задачі збіжності накладаються більш слабкі вимоги, чим у випадку багаточленів. Наприклад, інтерполяція сплайнами невисоких степенів сходиться навіть для неперервних функцій.

Друга цель - різке зменшення обчислювальних витрат, оскільки при побудові алгоритмів рішення задач , так і при подальшій роботі з аппроксимантами використовуються багаточлени невисоких степенів або інші елементарні функції.

При роботі зі сплайнами можна використовувати або кусочно-багаточленне представлення, або представлення через базисні функції. У першому випадку досягається найбільша економія арифметичних операцій, але необхідно зберігати великий об’єм інформації про багаточлени. В другому випадку маємо зворотне.