6 ПОСТУПАЛЬНИЙ ТА ОБЕРТАЛЬНИЙ РУХИ ТІЛА

 

 

6.1 Теоретичні відомості і методичні вказівки

 

6.1.1 Поступальний рух твердого тіла

 

Поступальним називають такий рух твердого тіла (рис. 6.1), при якому будь-яка пряма АВ, що проведена в тілі, залишається під час руху паралельною до свого первісного положення.

Рисунок 6.1.

 

При  поступальному русі тіла з положення І в положення ІІ AB=A₁B₁=const (тверде тіло) (рис. 6.1):

 

.

 

Швидкості та прискорення всіх точок тіла при поступальному русі є однаковими. Траєкторії також однакові, але паралельно зміщені. Закон руху задається законом руху будь-якої точки. Швидкість  і прискорення  визначаються так само, як і для ізольованої точки. Таким чином, вивчення поступального руху твердого тіла зводиться до визначення руху будь-якої його точки, тобто до задачі кінематики точки.

 

6.1.2 Обертальний рух твердого тіла

 

Обертальним рухом твердого тіла називають такий рух тіла (Рисунок 6.2), при якому є пряма, жорстко зв’язана з тілом (її називають віссю обертання), що залишається весь час нерухомою.

 

Рисунок 6.2. 

 

При обертанні твердого тіла навколо осі z його положення визначається кутом повороту φ. Кут φ вважається додатним, якщо перехід від площини І, нерухомо фіксованої у просторі, до площини ІІ, незмінно зв’язаної з тілом, відбувається проти напрямку руху годинникової стрілки, а якщо за напрямком годинникової стрілки – від’ємним.

Закон руху тіла φ= φ(t) називається кінематичним рівнянням обертального руху тіла навколо нерухомої осі.

Головні кінематичні характеристики обертального руху твердого тіла: кут повороту φ, кутова швидкість

 

,

 

кутове прискорення у даний момент часу

 

.

 

Отже, кутова швидкість дорівнює першій похідній за часом від кута повороту φ. У техніці кутову швидкість часто задають числом n обертів за хвилину. Зв’язок між ω і n визначається формулою

 

.

 

Якщо при обертанні тіла кутова швидкість є сталою (ω=const), то обертання тіла називається рівномірним. При цьому кут повороту змінюється пропорційно часу:

 

 

де φ₀ ‑ початковий кут повороту.

Це рівняння називається рівнянням рівномірного обертання тіла навколо нерухомої осі.

Кутове прискорення тіла ε характеризує швидкість зміни кутової швидкості ω за часом.

Кутове прискорення ε в даний момент часу дорівнює першій похідній за часом від кутової швидкості або другій похідній за часом від кута повороту.

Кутову швидкість і кутове прискорення можна зобразити у вигляді векторів  і  (Рисунок 6.2).

Вектором  називають вектор, який чисельно дорівнює абсолютному значенню похідній кута повороту за часом:  і спрямований уздовж осі обертання у той бік, звідки обертання тіла видно таким, що відбувається проти годинникової стрілки.

Вектор кутового прискорення тіла знаходиться з рівняння

Якщо напрямок вектора  співпадає з напрямком вектора , то обертання прискорене і протилежне  при сповільненому русі.

 

Рисунок 6.3. 

 

Траєкторією будь-якої точки М тіла, яке обертається, є коло з центром С на осі обертання (Рисунок 6.3). Швидкість  будь-якої точки М тіла, яке обертається, спрямована перпендикулярно до прямої, яка з’єднує її з віссю обертання, у бік обертання тіла і за модулем дорівнює

 

,

 

де h – відстань від точки М до осі обертання, або радіус МС кола, яке описує точка М.

Прискорення точки М розкладається на тангенціальну (обертальну)  і нормальну (доцентрову)   складові, які за модулем дорівнюють

 

 

Відхилення вектора повного прискорення  від радіуса, описуваного точкою кола, визначається кутом μ:

 

.

 

Вектор  спрямований за дотичною до траєкторії у бік (обертання) руху при прискореному обертанні тіла і в протилежний – при сповільненому. Проекція прискорення точки на нормальну вісь ‑ спрямована за радіусом МС до осі обертання, тобто у бік угнутості траєкторії точки М.

 

Питання для самоперевірки знань

та контролю засвоєння матеріалу

 

1. Який рух твердого тіла називається поступальним.

2. Чи можна звести кінематику поступального руху до кінематики точки?

3. Який рух твердого тіла називається обертальним?

4. Як визначити кутову швидкість та кутове прискорення твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі?

5. Який вигляд мають траєкторії точок твердого тіла, що обертається відносно нерухомої осі?

6. Як визначити швидкість та прискорення точок твердого тіла, яке обертається відносно нерухомої осі?