8.3 Приклад виконання завдання

 

Приклад 1. Вантаж масою m підіймається по шорсткій похилій площині (рис. 8.2), що складає кут α=30⁰ з горизонтом. В початковий момент швидкість вантажу дорівнювала υ₀=15 м/с. Коефіцієнт тертя f=0,1. Який шлях пройде вантаж до зупинки? За який час вантаж пройде цей шлях?

 

Розв’язання

Для дослідження руху вантажу запишемо диференціальне рівняння невільного вантажу в проекціях на вісь х.

 

                                                (8.1)

 

Вантаж переміщується під дією ваги P, нормальної складової  N та сили тертя F_тр шорсткої поверхні.

 

 

Рисунок 8.2

 

Враховуючи сили, що прикладені до вантажу (рис. 8.2), рівняння (8.1) запишеться в вигляді:

                                         (8.2)

 

Вага вантажу біля поверхні Землі.

 

P = mg                                                    (8.3)

 

На підставі закону Амонтона-Кулона при критичній рівновазі вантажу отримаємо:

 

F_тр= f N                                                   (8.4)

 

Так як вантаж рухається вздовж осі х, тоді:

 

N = P cos 30⁰                                          (8.5)

 

Підставимо формули (8.3), (8.4) та (8.5) в диференціальне рівняння (8.2)

 

;               (8.6)

 

                           (8.7)

 

                       (8.8)

 

                                              (8.9)

 

2) Інтегруємо диференційне рівняння (8.9) двічі:

 

                                              (8.10)

 

                                  (8.11)

 

3) Для визначення постійних інтегрування в рівняннях (8.10) та (8.11) скористаємось початковими умовами:  при t=0;  ₀=15м/c;  х₀=0.

Отже  С₁=₀;  С₂=х₀ ; С₁=15 ;  С₂=0, тоді 

 

.                                             (8.12)

 

.                                   (8.13)

 

4) Для моменту τ, коли вантаж зупиниться,  =0  х=S, тоді

 

 .                                            (8.14)

 

.                                     (8.15)

З формули (8.14) знаходимо τ:

 

τ = 15 / 5,75 = 2,61с  .                                       (8.16)

 

Підставимо значення τ  (8.16) в рівняння (8.15) і отримаємо шлях, який пройде вантаж до зупинки

 

.

 

Відповідь: τ = 2,61с; S = 19,57м.    

 

Приклад 2. Матеріальна точка m рухається під дією сили  на ділянці АВ (рис. 8.3). Знайти час τ руху точки та відстань DC, якщо: m=5 кг, V_A=3 м/с, F=30H, d= 4 м, АВ=11м.

 

Розв’язання

Точка на ділянці АВ рухається під дією сили ваги P,постійної  сили F реакції N гладенької поверхні. Запишемо диференціальне рівняння руху точки в проекціях на вісь η.

 

=F+Psin15⁰,

=+g∙sin15⁰_.

 

Рисунок 8.3

 

 

Початкові умови руху точки: при t=0; η=V_A; η=0.

Граничні умови: при t=τ с; η=V_B; η=AB.

Інтегруємо диференціальне рівняння руху точки, враховуючі початкові та граничні умови руху точки.

 

або

4,27∙τ²+3τ-11= 0,

Звідки:

τ_1,2

 

Так як τ0, то час руху точки на ділянці АВ: τ = 1,28 с.

Визначимо швидкість точки в пункті В.

 

 

Розглянемо рух точки на ділянці ВС (рис. 8.3).

Запишемо диференціальні рівняння руху точки в проекціях на осі x та y

    .

Так як точка має масу, то:

,  .                                         (8.17)

Початкові умови руху точки: при t=0;

                                                8.18)

Граничні умови: при t = t₁; y = d; x = DC.

Інтегруємо друге диференціальне рівняння системи (8.17).

Підставляючи дані, отримаємо:

.

Тоді  Звідки t₁ =0,52 c.

З першого диференціального рівняння системи (8.17)  та початкових умов маємо: м/с.

Другий раз інтегруємо рівняння  враховуючи початкові (8.18) та граничні умови руху точки на ділянці ВС (рис. 8.3).

 

 

Відповідь: τ = 0,52 c., ВС = 10 м.