2.2 Загальна структура математичних моделей системного аналізу
Під час визначення елементів математичної моделі будемо виходити з того, що у системному аналізі, у загальному випадку, вивчаються задачі прийняття рішень і, як окремий випадок, задачі оптимізації.
Однією з основних вимог до побудови математичних моделей досліджуваних систем є врахування їх основних факторів. При цьому, для виявлення основних елементів моделі слід відповісти на такі запитання:
- Хто приймає рішення ?
- Яка мета прийняття рішення для кожного ОПР ?
- У чому полягає прийняття рішення ?
- Які є можливості ОПР (з точки зору прийняття можливих рішень)?
- За яких умов відбувається прийняття рішень?
Формалізуючи (описуючи математично) відповіді на ці запитання ми отримаємо необхідну модель системного аналізу.
Для з’ясування загальної структури математичних моделей системного аналізу введемо деякі загальні позначення.
Позначимо через N = {1, 2, ..., n} множину сторін, що беруть участь у даній задачі системного аналізу, де кожен елемент з цієї множини є ОПР, наприклад, окрема особистість, фірма, плановий орган концерну, уряду і т.п., при цьому, кожен елемент i∈N має свої можливості. Позначимо через Хi множину усіх його допустимих рішень (стратегій, альтернатив). Припустимо, що такі множини математично описані: X1, X2,..., Xn.
Після цього процес прийняття рішення всіма ОПР зводиться до такого формальному процесу: – кожна з ОПР вибирає конкретний елемент
x1∈X1, x2∈X2, …, xn∈Xn, (2.1)
зі своєї припустимої множини рішень.
У результаті отримується набір х = (x1,...,xn) обраних рішень, що називається ситуацією.
Для формалізація цілей прийняття рішення тим або іншим способом будуються аналітичні закони (функції) f1, ..., fn, що ставлять у відповідність кожної ситуації x набір з n чисел f1(x), f2(x), ..., fn(x).
Функція fi(x) = fi (x1,...,xn) називається критерієм якості i-ої ОПР. Число fi(x) є кількісною оцінкою ситуації x для i-oї ОПР з погляду переслідуваної нею цілі. Тому в моделі ціль i-oї особи формалізується таким чином, щоб обрати таке рішення xi∈Xi, за яким буде досягнуто найбільше значення функції fi. Однак досягнення цієї цілі не залежить від нього цілком з огляду наявності інших сторін, що впливають на загальну ситуацію x з метою досягнення своїх власних цілей. Цей факт перетинання інтересів (конфліктність) пояснюється тим, що функція fi крім xi залежить і від інших змінних xj (i ≠ j). Тому, в моделях прийняття рішення з багатьма учасниками застосовуються складніші принципи оптимального поводження, ніж пряма максимізація або мінімізація критерію якості.
Нарешті, нехай деяким чином (математично) описані всі ті умови, за яких відбувається прийняття рішення. Сукупність усіх цих умов, що виступають у моделі у вигляді деяких рівнянь зв’язку, позначимо одним символом Σ. Математично система Σ містить опис зв’язків між керованими і некерованими змінними, опис впливу випадкових факторів, врахування динамічних характеристик та інші. Таким чином, загальна структура задачі прийняття рішення з багатьма учасниками буде мати вигляд:
<N; X1, ..., Xn; f1,..., fn; Σ >, (2.2)
Мета математичного моделювання – для поставленої фахівцями конкретної задачі отримати конкретний опис елементів наведеної структури. Слід відзначити, що математичне моделювання – це дуже складна задача, що потребує від розробників значних трудовитрат, навичок, знань і може бути виконана лише за наявності необхідного обсягу попередньої змістовної інформації.
Підсумовуючи, можна сказати, що основними елементами математичної моделі будь-якої задачі системного аналізу з прийняттям рішень є:
1. Множина ОПР (N).
2. Критерії якості (f1, ..., fn ).
3. Множина допустимих рішень (X1,...,Xn).
4. Обмеження на параметри задачі, передумови рівняння зв’язку (Σ).
Конкретизуючи ці елементи, їх характеристики і властивості, ми отримуємо той або інший конкретний клас задач (клас моделей) прийняття рішення. Так, наприклад, якщо множина N складається тільки з одного елемента (n = 1), а всі умови і передумови вихідної реальної задачі можна описати у вигляді множини допустимих рішень цієї єдиної ОПР, то з вищенаведеного виразу отримаємо структуру задач системного аналізу, зокрема, задач оптимізації (екстремальних задач) < Х, f >. У наведеній схемі ОПР може розглядатися як орган планування, множина допустимих рішень Х задається за допомогою обмежень на можливості ОПР, а критерій якості f називається цільовою функцією. При цьому задача аналізу (оптимізації) ставиться таким чином:
max f (x), (f (x)→max),
x∈X x∈X (2.3–2.4)
min f (x), (f (x)→min),
x∈X x∈X (2.5–2.6)
Це різні форми запису однієї і тієї ж задачі. Їх оптимальними розв’язками називаються пари x*, f(x*). У загальному ж випадку, модель досліджуваної системи можна описати у самому лаконічному вигляді, тобто, у вигляді залежності
E = f (X, Y),(2.7)
де: E – деякий кількісний показник (критерій) ефективності з точки зору досягнення деякої цілі функціонування системи;
X – керовані змінні системи, на які ми маємо вплив;
Y – некеровані, тобто, зовнішні щодо до системи впливи.