Двочленні рівняння

2.3. Двочленні рівняння

Алгебраїчне рівняння називається двочленним рівнянням, якщо воно має вигляд .

Приклад 8. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

. Часто учні, розв’язуючи такі рівняння, знаходять лише один розв’язок рівняння .

Перевіримо за допомогою Maple

> with(RealDomain):

solve({x^4-625=0},{x});

Відповідь:

Команда with підключає пакет RealDomain, в результаті чого область комплексних чисел, в якій за замовчуванням працює система Maple, заміняється на область дійсних чисел. Це, зокрема, приводить до того, що команда solve повертає тільки дійсні корені рівняння.

Приклад 9. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Відповідь: 3.

Або розкладемо ліву частину рівняння на множники:

> factor(x^3-27=0);

Прирівнявши перший множник до нуля, отримаємо корінь , а другий множник – це неповний квадрат суми, тому, прирівнявши його до нуля, дійсних коренів не отримаємо.

Приклад 10. Розв’язати рівняння

Розв’язання

, а це неможливо, тому рівняння розв’язків не має.

Відповідь:.

Приклад 11. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Відповідь: 0.

Цікаво звернути увагу на розв’язок цього ж рівняння в системі Maple:

> solve({x^12=0},{x});

> nops([%]);

Команда nops повертає кількість елементів списку.

2.4. Тричленні рівняння

Означення. Алгебраїчне рівняння виду називається тричленним, якщо . При тричленне рівняння називається біквадратним рівнянням. Заміною змінних тричленне рівняння перетворюється в квадратне . Зокрема, для біквадратного рівняння заміна приводить його до квадратного рівняння .

Приклад 12. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Поклавши , дістаємо . За теоремо Вієта

Повернемось до заміни:

> solve({x^4-13*x^2+36=0},{x});

Відповідь: {±2; ±3}.

До речі, у системі Maple є можливість зробити перевірку на правильність розв’язання рівняння. Це робимо за допомогою команди subs(), наприклад, перевіримо правильність розв’язання прикладу № 5:

> subs(x=2,x^4-13*x^2+36);

> subs(x=3,x^4-13*x^2+36);

> subs(x=-2,x^4-13*x^2+36);

> subs(x=-3,x^4-13*x^2+36);

Зробивши перевірку, ми переконалися, що дані корені є розв’язками рівняння.

Система Maple має власну мову програмування надвисокого рівня. Дії, реалізація яких в традиційних мовах програмування займає десятки рядків, Maple дозволяє реалізувати записом в один рядок. Наприклад, в попередньому прикладі зовсім необов’язково записувати команду підстановки subs для кожного кореня окремо. Це можна зробити за допомогою команди створення послідовності seq:

> f:=x^4-13*x^2+36:

solve(f,{x});

seq(subs([%][k],f),k=1..nops([%]));