2.6. Розв’язування раціональних і дробово-раціональних рівнянь методом введення нової змінної

Метод введення нової змінної був використаний раніше при розв’язуванні тричленних рівнянь, однак цей метод з успіхом застосовується і при розв’язуванні багатьох інших рівнянь, де можлива і корисна заміна змінної. Для закріплення цього методу розглянемо кілька прикладів.

Приклад 18. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Поклавши , дістанемо рівняння , звідки знаходимо Тепер задача звелася до розв’язування сукупності рівнянь Перше рівняння сукупності має кратний корінь друге рівняння має корені .

Відповідь:

Приклад 19. Розв’язати рівняння

Розв'язання

.,

Поклавши , дістанемо рівняння . Переносимо всі доданки рівняння в одну частину і зводимо до спільного знаменника:

Узявши . Оскільки диск-римінант цього рівняння , то воно дійсних коренів не має.

Узявши .

Зробимо перевірку в системі Maple:

> subs(x=1,33/(x^2-6*x+8)-x^2+6*x=16);

> subs(x=5,33/(x^2-6*x+8)-x^2+6*x=16);

Отже, обидва корені є розв’язком нашого рівняння.

Відповідь: {1; 5}.

У дробово-раціональних рівняннях часто потрібно знаходити область допустимих значень (коротко ОДЗ). Її, як правило, знаходять на початку розв’язання прикладу. У попередньому прикладі натомість знаходження області допустимих значень ми застосували перевірку знайдених коренів.

Приклад 20. Розв’язати рівняння

Розв'язання

Покладемо . До речі, ОДЗ: . Тоді

.

Початкове рівняння записується у вигляді

або

Узявши

.

Узявши , дістаємо

Відповідь: { 3}.

Приклад 21. Розв’язати рівняння .

Розв'язання

     Знайдемо ОДЗ: та або .

     Доречним буде сказати, що в системі Maple знак вводиться у вигляді <>, а пуста множина позначається як {}.

     Розкриємо дужки у знаменниках дробів: Як бачимо, можна зробити заміну , тоді утворене рівняння буде мати вигляд:

     За допомогою команди normal зведемо ліву частину утвореного рівняння до спільного знаменника:

> normal(6/(t+2)+8/(t-4)-1=0);

Тепер знайдемо корені цього рівняння, хоча їх можна було б знайти і не виконуючи попередньої дії:

> solve(6/(t+2)+8/(t-4)-1=0);

Тобто, або . Повертаємось до заміни: або .

> solve(x^2+3*x=0);

> solve(x^2+3*x=16);

Отже, маємо такі розв’язки: .

Всі отримані числа задовольняють ОДЗ, тому є коренями нашого рівняння.

Приклад 22. Розв’язати рівняння

Розв'язання

Рівняння виду розв’язується за допомогою заміни (с – середнє арифметичне чисел а і b). Для рівняння робимо заміну

початкове рівняння записується у вигляді . Застосовуючи трикутник Паскаля, отримуємо

. Розв’язуючи це біквадратне рівняння, дістаємо .

     Узявши .

Узявши .

Відповідь: .