5. ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ СТЕПЕНЕВИХ ТА ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ. РІВНЯННЯ ТА НЕРІВНОСТІ З МОДУЛЕМ

5.1. Степінь дійсного числа з натуральним показником. Його властивості

Нехай . – це степінь, а – основа степеня, п – показник степеня. Степінь є добутком п множників, кожний з яких дорівнює а: .

Будь-який степінь додатного числа є додатним числом, наприклад: . Парний степінь від’ємного числа є додатним числом, наприклад: . Непарний степінь від’ємного числа є числом від’ємним, наприклад:

Нехай Тоді справедливі такі властивості степеня з натуральним показником:

1) ;               2) ;

3) ;          4) ;

5) ;               6) ;                    7) .

Приклад 1: Обчислити вираз

Розв’язання

.

Відповідь: .

5.2. Степінь дійсного числа з нульовим і від’ємним цілим показником

Нехай . Припустимо за визначенням

Властивості 1) – 6) степеня з натуральним показником справедливі і для степеня дійсного числа з від’ємним цілим показником. Наприклад: .

Приклад 2: Скоротити дріб .

Розв’язання

Відповідь: .

5.3. Властивості арифметичних коренів

Якщо і п – натуральне число, більше 1, то існує одне і тільки одне невід’ємне число х таке, що виконується рівність . Це число х називається арифметичним коренем п-го степеня з невід’ємного числа а і позначається . Число а називається підкореневим, п – показником кореня. Якщо то звичайно пишуть (опускаючи показник кореня) і називають цей вираз квадратним коренем. Часто замість терміна «корінь» вживають термін «радикал».

Таким чином, згідно з визначенням запис , де , означає, по-перше, що і, по-друге, що , тобто .

Якщо і , то справедливі такі властивості:

1) ;               2) ;

3) ;               4) ;

5) .

Корінь непарного степеня з від’ємного числа

Нехай , а п – натуральне число більше 1. Якщо п – парне число, то рівність не виконується ні при якому дійсному значенні х. Це означає, що в області дійсних чисел не можна визначити корінь парного степеня з від’ємного числа. Якщо ж п – непарне число, то існує одне і тільки одне дійсне число х, таке, при якому . Це число позначають і називають коренем непарного степеня п з від’ємного числа а. Наприклад, , оскільки .

     У випадку непарних показників коренів властивості радикалів справедливі для невід’ємних значень підкореневих виразів, справедливі і для від’ємних значень підкореневих виразів. Наприклад, для будь-яких а і b.

Степінь з дробовим показником

Якщо і – натуральні числа, , то ; якщо . То .

Нецілий степінь від’ємного числа не має змісту.

Степінь дійсного числа з дійсним показником має ті ж властивості, що і степінь з натуральним і цілим показником. Запишемо ці властивості, припускаючи, що