5.5. Звільнення від ірраціональності в знаменнику і чисельнику дробу

Дріб можна звільнити від ірраціональності (від ірраціонального виразу) в чисельнику або в знаменнику, наприклад, так: дріб звільнили від ірраціональності в знаменнику; дріб звільнили від ірраціональності в чисельнику.

Щоб звільнити дріб від ірраціональності в чисельнику або знаменнику, можна застосовувати формули скороченого множення, що стосовно до коренів мають вигляд:

а) ;

б) ;

в) .

Вирази і називають взаємно спряженими виразами .

     Для звільнення дробів від ірраціональності в знаменнику у системі Maple існує команда rationalize(). Вона застосовується для числових і алгебраїчних дробів. Зокрема, у випадку з алгебраїчними дробами береться до уваги лише знаменник у вигляді многочлена. Ця команда застосовується також і тоді, коли знаменник містить тригонометричні та логарифмічні функції.

Приклад 10. Звільнити дроби від ірраціональності в знаменнику:

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв’язання

а)

б)

в)

г)

.

Звільнимо дроби від ірраціональності в знаменнику у системі Maple:

> rationalize(2/(sqrt(5)+sqrt(3)));

Якщо приклад, у якому потрібно звільнитися від ірраціональності, досить довгий, або просто для зручності, команду rationalize() можна застосувати у такому вигляді:

> ex1:=1/(sqrt(2)+sqrt(3)-sqrt(5));

> rationalize(ex1);

або

> c/(sqrt(a)-b);

> rationalize(%);

Приклад 11. Обчислити значення виразу

Розв’язання

Помножимо кожний доданок даної суми на вираз, спряжений до знаменника кожного із дробів:

5.6. Спрощення ірраціональних виразів

Приклад 12. Спростити .

Розв’язання

Для того, щоб спростити даний вираз, потрібно підкореневі вирази подати у вигляді квадратів двочленів. Тобто вираз можна спочат-

ку записати як або , відповідно вираз записуємо як або . Тоді . Оскільки обидва підмодулеві вирази – додатні, то їх модулями є також додатні вирази. Отже, .

> simplify(sqrt(11+6*sqrt(2))+sqrt(11-6*sqrt(2)));

Приклад 13. Спростити , якщо .

Розв’язання

; згідно умови задачі , тобто

.

Як бачимо, у прикладі 13 накладені умови на змінні, відносно яких відбувається спрощення виразу. Якщо просто задати системі спростити вираз без накладання умов, то результат вона видасть у вигляді:

> simplify(abs(a-2*b)/abs(a+2*b)-(8*a*b)/((a*2*b)*(a+2*b))+(2*b)/(a-2*b));

А якщо накласти перед тим умову, то отримаємо правильний результат:

> assume(a>0,(2*b)>a);

> simplify(abs(a-2*b)/abs(a+2*b)-(8*a*b)/((a-2*b)*(a+2*b))+(2*b)/(a-2*b));