5.7. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля
При розв’язуванні рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше застосовують такі методи, як:
a) розкриття модуля за визначенням;
b) метод інтервалів.
За визначенням модуля: 
Відзначимо такі властивості модуля, які нерідко використовуються на практиці: 
Для найпростіших рівнянь з модулем слід пам’ятати, що рівняння рівносильне сукупності рівнянь якщо . Якщо ж , то рівняння розв’язків не має.
У системі Maple модуль позначається abs(). Наприклад,
> abs(x-7);

Приклад 14. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
 
Відповідь: { 2}.
Приклад 15. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
 , оскільки з визначення модуля випливає, що для будь-якого х з області визначення функції .
Відповідь: .
Приклад 16. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Розглянемо два випадки, коли вираз (х+1) під знаком модуля невід’ємний і коли від’ємний. При При Звідси, початкове рівняння еквівалентне сукупності двох змішаних систем:
Перша система має розв’язок . Друга система розв’язків не має, тому що
Відповідь: 
Рівняння виду можна розв’язувати методом інтервалів, який розглянутий нижче, однак для такого рівняння швидше за все приводить до мети спосіб піднесення обох частин рівняння до квадрата, враховуючи те, що .
Приклад 17. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата: 

Відповідь: .
Спробуємо у системі Maple спочатку задати рівняння з модулем
> abs(2*x-1)=abs(x+1);

а тепер розв’яжемо його у цій же системі:
> solve(abs(2*x-1)=abs(x+1));

5.8. Метод інтервалів (проміжків) при розв’язуванні рівнянь з модулями
Даний метод полягає в тому, що:
1) вирази, які стоять під знаком модуля, прирівнюються до нуля;
2) отримані значення відкладаються на числовій прямій, яка при цьому розбивається на інтервали (проміжки), в кожному з яких свій знак підмодулевого виразу;
3) розв’язуються отримані рівняння в кожному з інтервалів.
На практиці метод інтервалів зазвичай застосовується тоді, коли рівняння містить декілька модулів.
Розглянемо застосування методу інтервалів на прикладах.
Приклад 18. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
1-й спосіб розв’язування:
; . Наносимо на числову пряму точки і . Ці точки розбивають числову пряму на три інтервали (проміжки), у кожному з яких свій знак підмодулевого виразу. Для зручності можна позначити ці інтервали І, ІІ, ІІІ:

І: ; ІІ: ; ІІІ: .
Для інтервалу І маємо: ; .
Звідси, дістаємо розв’язання рівняння в І інтервалі: . Однак значення не належить І інтервалу, тобто , тому в І інтервалі початкове рівняння розв'язків не має.
Для ІІ інтервалу ; початкове рівняння має вигляд . Оскільки – це тотожність, то будь-яке є розв’язком, тобто розв’язком рівняння є весь відрізок .
Для ІІІ інтервалу ; початкове рівняння має вигляд: . Оскільки , то в ІІІ інтервалі початкове рівняння розв’язків не має.
2-й спосіб розв’язування:
Розв’язання даного прикладу можна записати в іншій формі, застосовуючи поняття сукупності змішаних систем, тобто систем, які містять рівняння і нерівності.
Так само, як і для 1-го способу, маємо три інтервали: І: ; ІІ: ; ІІІ: . В залежності від того, у якому інтервалі ми шукаємо розв’язок, початкове рівняння рівносильне сукупності таких змішаних систем: . Перша і третя системи сукупності розв’язків не мають, а розв’язком другої системи є проміжок .
Відповідь: .
Приклад 19. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Рівняння з трьома і більше модулями зручно розв’язувати лише методом інтервалів.
; ; .
Маємо чотири інтервали:

І: ;
ІІ: ;
ІІІ: ;
ІV: .
У І інтервалі , , . Звідси, маємо

. Оскільки входить в інтервал , то є розв’язком початкового рівняння.
У ІІ інтервалі ; ; .
Тоді 
. Однак .
Для ІІІ інтервалу ; ; .
Звідси маємо
. Тому що входить в інтервал , то є розв’язком початкового рівняння.
Для ІV інтервалу ; ; . Звідси дістаємо . Однак значення .
Відповідь: .
За допомогою команди eval() в системі Maple можна перевірити, чи будуть одержані значення коренями попереднього рівняння. Для цього в дужках задаємо вираз, в який ми підставляємо значення, а потім, після коми, задаємо саме значення, яке потрібно перевірити.
> eval(abs(x-2)-3*abs(2*x-1)+5*abs(3*x-2)=4,x=1/2);

> eval(abs(x-2)-3*abs(2*x-1)+5*abs(3*x-2)=4,x=9/8);

Приклад 20. Розв’язати систему рівнянь 
Розв’язання
В даному випадку областю допустимих значень для x і y є множина всіх дійсних чисел.
Замінимо дану систему рівнянь еквівалентною сукупністю систем:
В даному прикладі робити перевірку – рутинна робота, тому доречним буде застосування команди solve для розв’язання даної системи рівнянь:
> solve({3*abs(x)+5*y+9=0,2*x-abs(y)-7=0});

Як бачимо, три пари чисел, які отримали при розв’язанні даної системи, виявились сторонніми.
Відповідь: .
  
|