Тема 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ

 

2.8. Неперервність функції

 

Означення 2.8. Функція  називається неперервною в точці  (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

 

, або .                            (2.7)

 

Приклад 2.30. Дослідити на неперервність функцію  в точці .

Розв’язання.

Якщо , то ;  - величина обмежена, тому, за теоремою 2.4, . Отже, , і тому, за означенням 2.8, функція  - неперервна в точці .

 

Неперервність функції в точці можна означити і по-іншому.

Означення 2.9. Функція  називається неперервною в точці , якщо вона має в цій точці границю, яка дорівнює значенню функції в точці , тобто

.                                        (2.8)

Рівність (2.8) можна деталізувати: границя зліва в точці  має дорівнювати границі справа і дорівнювати значенню функції в цій точці:

 

.                          (2.8*)

 

Означення 2.10. Функція  називається неперервною на проміжку (continuous function on interval), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

 

Арифметичні операції над неперервними функціями приводять знову до неперервних функцій.

 

Теорема 2.19. Якщо функції  і  є неперервними в точці , тоді неперервними в цій точці будуть також функції:

 

1) , ;

 

2) ;

 

3)  за додаткової умови .

 

Доведення. Нехай функції ,  -неперервні в точці . Тоді, за означенням 2.9, , . Використаємо теореми про арифметичні операції над функціями, що мають границю:

 

1) ;

 

2) ;

 

3) .

Бачимо, що означення 2.9 виконується в кожному з цих випадків. Тобто ми показали, що при виконанні арифметичних дій над неперервними функціями ми знову отримаємо неперервні функції.

 

 

Неперервність складеної функції

 

Теорема 2.20. Якщо функція  неперервна в точці , а функція  неперервна в точці , то складена функція  неперервна в точці .

Доведення. Справді, оскільки функція  неперервна в точці , то ;  - неперервна в точці , тому . А це означає, що функція  неперервна в точці .


Властивості функцій, неперервних на відрізку

 

Теорема 2.21. (Вейєрштрасса). Якщо функція  неперервна на відрізку , то вона:

1) обмежена (bounded function) на цьому відрізку;


2) досягає на цьому відрізку свого найбільшого  та найменшого  значень (рис. 2.6).

, ; .

Рис. 2.6

 

Теорема 2.22. (Больцано - Коші). Якщо функція  неперервна на відрізку  і , то всередині відрізка існує принаймні одна точка с, в якій функція набуває рівного С значення (рис. 2.7).

 

.

 

Рис. 2.7

 

Наслідок з теореми Больцано - Коші. Якщо функція  неперервна на відрізку  і в його кінцевих точках набуває різних за знаком значень, то всередині відрізка існує принаймні одна точка, в якій значення функції дорівнює нулю (рис. 2.8).

 

 

 

Рис. 2.8

 

Точки розриву функції та їх класифікація

 

Означення 2.11. Якщо функція  в точці  не є неперервною, то точка  називається точкою розриву функції (discontinuity point).

Зауваження. Елементарна функція не може мати розривів у внутрішніх точках своєї області визначення.

 

Точки розриву функції можна поділити на види:

·     Точки розриву першого роду (ordinary discontinuity).

Означення 2.12. Точка  називається точкою розриву функції  першого роду, якщо існують скінченні односторонні границі при , але вони не рівні між собою.

 - точка розриву першого роду .

 

Приклад 2.31. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки  не існує, то  - точка розриву функції.

Обчислимо односторонні границі функції в точці :

 

,       .

 

Оскільки , то точка  є точкою розриву першого роду.

Графік даної функції подано на рисунку 2.9.

Рис. 2.9

 

·     Точки розриву другого роду (no ordinary discontinuity).

Означення 2.13. Точка  називається точкою розриву функції  другого роду, якщо хоч би одна з односторонніх границь (зліва чи справа) при  не існує (зокрема, дорівнює нескінченності (infinite discontinuity)).

Приклад 2.32. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки  не існує, то  - точка розриву функції.

Обчислимо односторонні границі функції в точці :

, (оскільки );

 

, (оскільки ).

 

Оскільки  не існує, то точка  є точкою розриву другого роду.

Для схематичної побудови графіка функції, окрім односторонніх границь в точці , знайдемо границю при :

Рис. 2.10

,

(оскільки

 ).

А це означає, що пряма  є одночасно лівою і правою горизонтальною асимптотою.

Графік даної функції подано на рисунку 2.10.

 

·     Точки усувного розриву (removable discontinuity, removable jump).

Означення 2.14. Точка  називається точкою усувного розриву функції , якщо в цій точці виконується умова , але або , або  не існує.

 

Приклад 2.33. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки  не існує, то  - точка розриву функції.

Обчислимо границі зліва і справа в точці :

 

,

 

.

 

Оскільки , то точка  є точкою усувного розриву.

Отже маємо: .

Схематичний графік зображено на рисунку 2.11.

 

Рис. 2.11

 

Приклад 2.34. Дослідити функцію  і визначити вид точок розриву, якщо вони є. Зробити схематичний рисунок.

Розв’язання. Дана функція визначена для всіх . Оскільки  не існує, то  - точка розриву функції.

Обчислимо односторонні границі в точці :

, (т. як );

 

, (т. як ).

Оскільки границі ,  існують, проте , то точка  є точкою розриву першого роду.

В точці  функція має стрибок, що дорівнює різниці

 

.

 

Для схематичної побудови графіка функції знайдемо її границю при :

, (т. як ).

 

А це означає, що пряма  є горизонтальною асимптотою.

Схематичний графік даної функції зображено на рис. 2.12.

 

Рис. 2.12

Приклад 2.35. Дослідити задану функцію на неперервність і визначити рід точок розриву, якщо вони є. Зробити схематичний рисунок.

 

 

Розв’язання. Маємо неелементарну функцію, що неперервна на кожному з інтервалів: . Очевидно, що вона може бути розривною лише в точках , , в яких змінюється аналітичний вираз, що задає функцію. Перевіримо умови неперервності в цих точках.

1) Розглянемо точку .

Функція визначена в цій точці і .

 

, .

 

Отже, існують односторонні границі функції в точці , але вони не рівні між собою. А це означає, що дана точка є точкою розриву першого роду.

2) Розглянемо точку .

Функція визначена в цій точці і .

 

, .

 

Отже, існують односторонні границі функції в точці , вони рівні між собою і дорівнюють значенню функції в цій точці: . Це означає, що в даній точці функція неперервна.

Зробимо схематичний рисунок (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Питання для самоперевірки

 

1.     Яка послідовність називається збіжною? Сформулюйте означення границі послідовності.

2.     Сформулюйте означення границі функції за Гейне.

3.     Сформулюйте означення границі функції за Коші.

4.     Сформулювати означення границі функції на нескінченності.

5.     Дайте означення односторонніх границь функції в точці.

6.     Сформулюйте основні теореми про границю. Будь-які чотири з них доведіть.

7.     Сформулюйте і доведіть теорему про першу важливу границю.

8.     Сформулюйте теорему про другу важливу границю.

9.     Дайте означення нескінченно малої функції в точці. Наведіть приклад.

10.  Якщо , то що можна сказати про функцію  при ?

11.  Дайте означення нескінченно великої функції в точці. Наведіть приклад.

12.  Якщо  н. м. вищого порядку, ніж  при , то …

13.  Яка з наведених функцій має вищий порядок малості при : , ? Відповідь обґрунтуйте.

14.  Які н. м. функції називаються функціями одного порядку? Як це записують?

15.  Які н. м. функції називаються еквівалентними функціями? Як це записують?

16.  Як визначається еквівалентність двох нескінченно великих функцій?

17.  Сформулюйте і доведіть теореми про еквівалентні н. м. функції.

18.  Перерахуйте основні еквівалентності.

19.  Яка з наведених функцій має вищий порядок малості при : , ? Відповідь обґрунтуйте.