ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Тема 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ

2.8. Неперервність функції

Означення 2.8. Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

, або . (2.7)

Приклад 2.30. Дослідити на неперервність функцію в точці .

Розв’язання.

Якщо , то ; - величина обмежена, тому, за теоремою 2.4, . Отже, , і тому, за означенням 2.8, функція - неперервна в точці .

Неперервність функції в точці можна означити і по-іншому.

Означення 2.9. Функція називається неперервною в точці , якщо вона має в цій точці границю, яка дорівнює значенню функції в точці , тобто

. (2.8)

Рівність (2.8) можна деталізувати: границя зліва в точці має дорівнювати границі справа і дорівнювати значенню функції в цій точці:

. (2.8*)

Означення 2.10. Функція називається неперервною на проміжку (continuous function on interval), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Арифметичні операції над неперервними функціями приводять знову до неперервних функцій.

Теорема 2.19. Якщо функції і є неперервними в точці , тоді неперервними в цій точці будуть також функції:

1) , ;

2) ;

3) за додаткової умови .

Доведення. Нехай функції , -неперервні в точці . Тоді, за означенням 2.9, , . Використаємо теореми про арифметичні операції над функціями, що мають границю:

1) ;

2) ;

3) .

Бачимо, що означення 2.9 виконується в кожному з цих випадків. Тобто ми показали, що при виконанні арифметичних дій над неперервними функціями ми знову отримаємо неперервні функції.

Неперервність складеної функції

Теорема 2.20. Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то складена функція неперервна в точці .

Доведення. Справді, оскільки функція неперервна в точці , то ; - неперервна в точці , тому . А це означає, що функція неперервна в точці .

Властивості функцій, неперервних на відрізку

Теорема 2.21. (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона:

1) обмежена (bounded function) на цьому відрізку;

2) досягає на цьому відрізку свого найбільшого

та найменшого

значень (рис. 2.6).

, ; .

Рис. 2.6

Теорема 2.22. (Больцано - Коші). Якщо функція неперервна на відрізку і , то всередині відрізка існує принаймні одна точка с, в якій функція набуває рівного С значення (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Наслідок з теореми Больцано - Коші. Якщо функція неперервна на відрізку і в його кінцевих точках набуває різних за знаком значень, то всередині відрізка існує принаймні одна точка, в якій значення функції дорівнює нулю (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Точки розриву функції та їх класифікація

Означення 2.11. Якщо функція в точці не є неперервною, то точка називається точкою розриву функції (discontinuity point).

Зауваження. Елементарна функція не може мати розривів у внутрішніх точках своєї області визначення.

Точки розриву функції можна поділити на види:

· Точки розриву першого роду (ordinary discontinuity).

Означення 2.12. Точка називається точкою розриву функції першого роду, якщо існують скінченні односторонні границі при , але вони не рівні між собою.

- точка розриву першого роду .

Приклад 2.31. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки не існує, то - точка розриву функції.

Обчислимо односторонні границі функції в точці :

, .

Оскільки , то точка є точкою розриву першого роду.

Графік даної функції подано на рисунку 2.9.

Рис. 2.9

· Точки розриву другого роду (no ordinary discontinuity).

Означення 2.13. Точка називається точкою розриву функції другого роду, якщо хоч би одна з односторонніх границь (зліва чи справа) при не існує (зокрема, дорівнює нескінченності (infinite discontinuity)).

Приклад 2.32. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки не існує, то - точка розриву функції.

Обчислимо односторонні границі функції в точці :

, (оскільки );

, (оскільки ).

Оскільки не існує, то точка є точкою розриву другого роду.

Для схематичної побудови графіка функції, окрім односторонніх границь в точці , знайдемо границю при :

Рис. 2.10

(оскільки

А це означає, що пряма є одночасно лівою і правою горизонтальною асимптотою.

Графік даної функції подано на рисунку 2.10.

· Точки усувного розриву (removable discontinuity, removable jump).

Означення 2.14. Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо в цій точці виконується умова , але або , або не існує.

Приклад 2.33. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки не існує, то - точка розриву функції.

Обчислимо границі зліва і справа в точці :

Оскільки , то точка є точкою усувного розриву.

Отже маємо: .

Схематичний графік зображено на рисунку 2.11.

Рис. 2.11

Приклад 2.34. Дослідити функцію і визначити вид точок розриву, якщо вони є. Зробити схематичний рисунок.

Розв’язання. Дана функція визначена для всіх . Оскільки не існує, то - точка розриву функції.

Обчислимо односторонні границі в точці :

, (т. як );

, (т. як ).

Оскільки границі , існують, проте , то точка є точкою розриву першого роду.

В точці функція має стрибок, що дорівнює різниці

Для схематичної побудови графіка функції знайдемо її границю при :

, (т. як ).

А це означає, що пряма є горизонтальною асимптотою.

Схематичний графік даної функції зображено на рис. 2.12.

Рис. 2.12

Приклад 2.35. Дослідити задану функцію на неперервність і визначити рід точок розриву, якщо вони є. Зробити схематичний рисунок.

Розв’язання. Маємо неелементарну функцію, що неперервна на кожному з інтервалів: . Очевидно, що вона може бути розривною лише в точках , , в яких змінюється аналітичний вираз, що задає функцію. Перевіримо умови неперервності в цих точках.

1) Розглянемо точку .

Функція визначена в цій точці і .

, .

Отже, існують односторонні границі функції в точці , але вони не рівні між собою. А це означає, що дана точка є точкою розриву першого роду.

2) Розглянемо точку .

Функція визначена в цій точці і .

, .

Отже, існують односторонні границі функції в точці , вони рівні між собою і дорівнюють значенню функції в цій точці: . Це означає, що в даній точці функція неперервна.