3.6. Правила Лопіталя розкриття невизначеностей (L'Hospital rule)
Теорема 3.10. (І правило Лопіталя). Якщо:
1) функції 
і 
диференційовні на інтервалі 
, 
для
всіх 
;
2) 
;
3) існує скінченна або нескінченна границя 
,
то існує границя 
, причому має місце
рівність:
. (3.21)
Доведення. Довизначимо функції і в точці 
так,
щоб вони стали неперервними, тобто покладемо 
.
Тепер 
ці функції на відрізку 
, (
)
задовольняють умови теореми Коші. Тому існує точка с, 
, (
)
така, що
.
Оскільки , () то 
.
Перейшовши в останній рівності до границі, за умови 
,
отримаємо
що і потрібно було довести.
Запам’ятай добре! Доведену теорему зазвичай називають правилом
Лопіталя розкриття невизначеності 
за умови .
Аналогічні теореми мають місце для розкриття
невизначеності 
у випадку односторонніх
границь при 
, 
.
Приклад 3.24. Обчислити границю 
.
Розв’язання. Ми маємо невизначеність типу .
Функції 
і 
задовольняють
умови теореми в деякому околі точки 
. Застосуємо правило
Лопіталя:
.
Наслідок 1. Теорема Лопіталя справедлива також при 
, при 
і
при 
.
Приклад 3.25. Обчислити границю 
.
Розв’язання. Маємо невизначеність типу .
Застосуємо правило Лопіталя:
.
Наслідок 2. Якщо похідні 
і 
задовольняють ті самі вимоги, що і
функції і , то
правило Лопіталя можна застосувати повторно. При цьому отримаємо
. (3.22)
І взагалі, правило Лопіталя при виконанні умов теореми можна застосовувати багаторазово.
Приклад 3.26. Обчислити границю 
.
Розв’язання. Дана границя дозволяє використовувати формулу (3.21) багаторазово, дійсно:
.
Наслідок 3. Якщо в теоремі замінити умову 2) на наведену нижче
2) 
, або 
, то формула (3.21) також має місце.
В цьому випадку правило Лопіталя застосовується для
розкриття невизначеності типу 
( ІІ правило
Лопіталя).
Приклад 3.27. Якщо 
, то
,
тобто довільний додатний степінь x
зростає швидше, ніж 
при 
.
Розв’язування. Дійсно, застосувавши ІІ правило Лопіталя, отримаємо
.
Приклад 3.28. Якщо 
, 
то
,
тобто, при степенева функція 
зростає повільніше, ніж показникова
функція 
, .
Розв’язування. Дійсно, застосувавши правило Лопіталя розкриття
невизначеності n раз, отримаємо:
.
Зазначимо, що формули (3.21), (3.22) мають місце лише
тоді, коли існує скінченна або нескінченна границя 
.
Але буває і так, що границя 
існує, у випадку
коли границя не існує.
Приклад 3.29. 
існує і дорівнює 
.
Розв’язання. Дійсно
.
Але відношення похідних 
не має границі при 
.
Після певних перетворень правило Лопіталя може бути
застосовано також до розкриття інших невизначеностей, таких як: 
, 
, 
, 
, 
.
Так, границі невизначеностей типів та доцільно
звести до виду або .
Приклад 3.30. Обчислити границю 
.
Розв’язання. Маємо невизначеність типу .
Приведемо цю невизначеність до виду і застосуємо правило
Лопіталя.
.
Приклад 3.31. Обчислити границю 
.
Розв’язання. Маємо невизначеність типу .
Спочатку зведемо дроби до спільного знаменника.
.
Внаслідок перетворень ми дістали невизначеність виду . Застосуємо правило Лопіталя
.
При розкритті невизначеностей типу , , за допомогою правила Лопіталя попередньо
необхідно виконати деякі перетворення.
Нехай треба обчислити границю складеної степеневопоказникової функції:
,
де ми маємо невизначеність одного з вищезгаданих типів. Запишемо цю границю у вигляді
,
тут в показнику маємо вже невизначеність виду 
,
яку можна звести до невизначеності типу або
шляхом знесення в знаменник одного із
співмножників, що стоять під знаком границі.
Приклад 3.32. Обчислити границю 
.
Розв’язання. Маємо невизначеність типу 
.
Виконаємо тотожне перетворення функції:
.
Знайдемо границю показника отриманої функції за правилом Лопіталя
.
Отже, 
.
Приклад 3.33. Обчислити границю 
.
Розв’язання. Маємо невизначеність типу 
.
Виконаємо тотожне перетворення функції, що стоїть під знаком границі:
.
Обчислимо окремо границю, яка міститься в показнику, за правилом Лопіталя
.
Отже,
.