3.7 Дослідження функцій, заданих явно

 

Ознака монотонності функції

Теорема 3.11. Для того, щоб диференційовна на проміжку X функція  не спадала (не зростала) на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб її похідна в усіх точках цього проміжку була невід’ємна (недодатна), тобто  ().

Якщо похідна функції в усіх точках проміжку додатна (від’ємна), то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.

Доведення. Необхідність. Нехай диференційовна функція  зростає на проміжку X. Тоді  приросту аргументу  відповідає приріст функції , а для  відповідає приріст функції . Таким чином, в обох випадках  і тоді , тобто .

Аналогічно доводиться необхідна умова спадання функції.

 

Достатність. Нехай  . Тоді за теоремою Лагранжа  таке, що . Але оскільки  за умовою, то, якщо , отримаємо, що . Отже, функція  зростає на проміжку X.

Аналогічно доводиться достатня ознака спадання функції.

 

Зауважимо, що умова  () є достатньою, але не є необхідною умовою зростання (спадання) функції.

Так, наприклад, функція  зростає на всій числовій осі, але її похідна  не всюди додатна – вона перетворюється в нуль при .

Дослідити функцію на монотонність – означає знайти проміжки, на яких вона зростає (спадає).

 

Схема дослідження функції на монотонність

1.     З’ясовують область визначення заданої функції .

2.     Шукають першу похідну функції .

3.     Прирівнюють першу похідну до нуля і знаходять корені рівняння  та точки, в яких похідна не існує.

4.     Наносять одержані розв’язки рівняння  (зафарбовані точки) та точки, в яких похідна не існує («виколоті» точки), на числову вісь. Ці точки розбивають числову вісь на числові проміжки.

5.     Досліджують знак похідної на кожному числовому проміжку. З цією метою з кожного проміжку вибирають довільне значення (точку) та з’ясовують знак похідної в цій точці.

6.     За одержаними результатами формують відповідь.

 

Приклад 3.34. Дослідити функцію  на монотонність.

Розв’язання. Областю визначення даної функції є множина дійсних чисел. Обчислимо похідну даної функції: . Зрозуміло, що похідна дорівнює нулю при . За методом інтервалів знайдемо проміжки знакосталості .

 На проміжках  , тому дана функція тут зростає. На проміжку  , тому функція спадає на цьому проміжку.

 

Екстремум функції

Означення 3.5. Точка  називається точкою локального максимуму [локального мінімуму] (local maximum [minimum]) функції , якщо для всіх x із деякого околу точки  виконується нерівність:

 

        () при .

 

Означення 3.6. Точки локального максимуму (max) і локального мінімуму (min) називаються точками локального екстремуму (local extremum), а значення функції в цих точках - екстремальними значеннями функції.

 

 

На рис. 3.8 точка  - точка локального максимуму з екстремальним значенням , а точка  на рис. 3.9 - точка локального мінімуму з екстремальним значенням .

Теорема 3.12 (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має в точці локального екстремуму похідну, то ця похідна дорівнює нулю.

Доведення. Нехай  - точка локального екстремуму функції . Розглянемо такий окіл точки , в якому інших екстремальних точок немає. Очевидно, що тут виконується теорема Ферма, тобто , що і потрібно було довести.

 

Помітимо, що рівність похідної нулю не є достатньою умовою екстремуму. Так, наприклад, функція  не має точок екстремуму, але її похідна  дорівнює нулю при .

 

 

З наведених міркувань випливає, що локальний екстремум може знаходитись лише в такій точці, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Означення 3.7. Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками (critical points) першого роду для даної функції.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними (stationary points).

Отже, точки локального екстремуму необхідно шукати тільки серед критичних точок функції. Але потрібен критерій, за яким можна стверджувати, що дана критична точка є точкою локального екстремуму. Такий критерій дають дві наведені нижче теореми.

Теорема 3.13 (достатня умова екстремуму). Якщо при переході значень аргументу x функції  через критичну точку  її похідна змінює знак, то критична точка є точкою локального екстремуму, причому:

а) при зміні знака з „плюса” на „мінус” точка  є точкою локального максимуму;

б) при зміні знака з „мінуса” на „плюс” – точкою локального мінімуму.

Доведення. а) Нехай функція диференційовна в деякому -околі критичної точки  і нехай  при переході через цю точку змінює знак з „+” на „-”. Розглянемо відрізок, що сполучає точки  і , де точка  належить -околу. За теоремою Лагранжа на цьому відрізку знайдеться точка c така, що:

 

.                               (*)

 

Якщо , то точка  і, відповідно, точка с лежать зліва від , тому за умовою . З рівності (*) маємо, що

 

.

 

Якщо ж , то точка  і, відповідно, точка с лежать справа від , тому за умовою . З рівності (*) випливає, що

 

.

 

Отже, всюди в -околі точки  виконується умова: , тобто точка  є точкою локального максимуму (за означенням).

Аналогічно проводиться доведення у випадку б).

 

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Розглянемо функцію , що є визначеною і неперервною на відрізку . До цього часу ми займались відшуканням лише локальних максимумів і мінімумів. Поставимо тепер задачу про відшукання глобального максимуму і глобального мінімуму (global maximum and minimum), або, іншими словами, відшуканню найбільшого і найменшого значень  на відрізку . Зазначимо, що неперервна функція, в силу другої теореми Веєрштрасса, обов’язково досягне в деякій точці відрізка  свого найбільшого (найменшого) значення.

Найбільше (найменше) значення функція  може приймати або у внутрішній точці відрізка  (тоді воно збігається з одним із локальних екстремумів функції ), або на одному з кінців даного відрізка.

Звідси зрозуміло, що для знаходження найбільшого М і найменшого m значень неперервної функції  на відрізку  потрібно:

1) знайти критичні точки, які належать відрізку ;

2) обчислити значення функції в цих критичних точках і в точках a і b;

3) з усіх отриманих значень вибрати найбільше М і найменше m і відмітити точки, в яких ці значення досягаються.

Скорочено записують так: . Читають – найбільше значення (глобальний максимум) функції  на відрізку  дорівнює М і досягається в точці . Аналогічно .

Відшукання найбільшого (найменшого) значення функції неперервної на інтервалі, півпрямій, прямій проводиться подібним до вищенаведеного способом.

 

Приклад 3.35. Знайти найбільше і найменше значення функції  на відрізку .

Розв’язування. Знаходимо похідну:

 

.

 

Прирівнюємо її до нуля:

 

.

 

Розв’язавши це рівняння отримаємо критичні точки: , причому . Обчислимо значення функції в критичних точках  і , а також на кінцях відрізка .

 

.

 

Отже , .

 

Відмітимо, що у випадку, коли неперервна функція має на відрізку лише одну точку локального максимуму (мінімуму), то можна стверджувати, що це і є точка глобального максимуму (мінімуму).

Приклад 3.36. Число 36 розкласти на два невід’ємні множники так, щоб сума їх квадратів була найменшою.

Розв’язання. Нехай перший множник х, тоді другий - . Будемо шукати мінімум функції  за умови  (випадок , очевидно, мінімуму функції не дає). Знайдемо

 

; .

 

Дослідимо функцію в отриманій критичній точці  на локальний екстремум, отримаємо, що в точці  функція  має локальний мінімум (інших точок локального екстремуму немає). Отже, перший множник , другий .

 

Опуклість та вгнутість графіка функції. Точки перегину

Нехай функція  диференційовна на проміжку Х. Тоді у будь-якій точці цього проміжку існує дотична до графіка функції , причому ця дотична не вертикальна.

 

Означення 3.8. Графік функції  на проміжку Х називається опуклим [угнутим] (bump, convex [concave]), якщо він розміщений під дотичною (над дотичною) в усіх точках проміжку.

 

 

На рис. 3.11 графік функції  на проміжку Х – опуклий, а на