3.10 Приклади розв’язування типових завдань з дослідження функцій, заданих параметрично

 

Приклад 3.43. Дослідити функцію ,  та побудувати її графік.

Розв’язання.

1. Функції  та  визначені для всіх значень параметра  та диференційовні в усіх точках. Оскільки похідні  та  не перетворюються на нуль одночасно, то крива не має особливих точок.

 

2. З’ясуємо, чи має крива точки самоперетину. Маємо:

 

,

 

оскільки передбачається, що  та  різні, то з першого рівняння випливає . Підставляючи це значення в друге рівняння, одержуємо

 

.

 

Якщо , то  і ми одержали два однакових параметра, що неможливо. Залишається єдино можливий варіант: , . Цим значенням відповідає одна точка . З’ясуємо значення кутових коефіцієнтів дотичних для  та :

 

, .

 

Оскільки кутові коефіцієнти відрізняються, то через точку  крива проходить двічі, тобто це є точка самоперетину.

 

3. Маємо значення кутового коефіцієнта дотичної . Оскільки  при , то дотична паралельна осі абсцис в точках  та .  при , тому в точці  дотична паралельна осі ординат.

 

4. Оскільки , , маємо

 

, .

 

Якщо , то опуклість кривої спрямована в додатну сторону осі ординат. При  крива змінює характер опуклості, але тут немає перегину, оскільки в цій точці дотична паралельна осі ординат і ми повинні розглядати рівняння виду . Оскільки , то опуклість кривої спрямована у від’ємну сторону осі абсцис.

 

5. Асимптот крива не має.

 

·   З рівняння кривої видно, що вона симетрична відносно осі абсцис: при зміні знака параметра t змінюється лише знак ординати та зберігається знак абсциси (). Це означає, що достатньо побудувати криву тільки для додатних значень параметра t. Складемо допоміжну таблицю значень опорних точок:

 

 

Крива зображена на рис. 3.19.

Рис. 3.19

 

Приклад 3.44. Дослідити функцію ,  та побудувати її графік.

Розв’язання.

1. Функції  та  визначені для всіх значень параметра  та диференційовні в усіх точках. Оскільки , , то система  сумісна при . Отже, точка  буде особливою точкою. З’ясуємо її характер.

 

, , , отже . Тоді  і . Таким чином, точка  є точкою звороту другого роду.

 

2. Точок самоперетину немає, оскільки система  несумісна.

 

3. Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної , то дотична паралельна осі ординат при  (в точці звороту). Дотична паралельна осі абсцис при , тобто в точці .

 

4. Знаходимо . В околі нуля , тобто крива опукла вверх. Оскільки  при  і при  маємо , то крива опукла вверх; при  маємо  – крива опукла вниз (угнута). Таким чином, точка  – точка перегину кривої.

 

5. Крива асимптот немає.

 

6. Характерних особливостей крива не має. Складемо допоміжну таблицю значень опорних точок:

 

 

Крива зображена на рисунку 3.20.

 

Рис. 3.20