Наприклад
5x=30, 3a=18.
Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем (корінь - root) , або розв'язком (розв'язок - solution).
Наприклад
Рівняння 3x-17=7 має розв'язок x=8,
Рівняння x(x-2)(x-3)=0 має три корені: x=0, x=2, x=3.
Рівняння x-7=x не має жодного кореня
Розв'язати (solve) рівняння - це означає знайти всі його розв'язки або показати, що їх не існує.
Два рівняння називають рівносильними (рівносильні рівняння - equivalent equations), якщо вони мають однакові розв'язки. Рівносильними вважають і такі рівняння, які не мають розв'язків.
Щоб розв'язувати складніші рівняння, слід вміти замінювати їх простішими і рівносильними даним.
Завжди правильні такі основні властивості рівнянь.
1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.
2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.
3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.
Рівняння виду ax+b називається лінійним рівнянням (лінійне рівняння - linear equation) із змінною х. Числа a,b - коефіцієнти (коефіцієнт - coefficient) даного рівняння; a - коефіцієнт при змінній x, b - вільний член рівняння.
Якщо a≠0, то рівняння ax+b називають рівнянням першого степеня з однією змінною (рівняння першого степеня - simple equation).
| Його корінь |  |
. Кожне рівняння першого степеня з однією змінною має один корінь. |
Наприклад
Рівняння 0x=5 не має жодного розв'язку, бо не існує числа, яке б при множенні на 0 у добутку дало 5;
рівняння 0x=0 має безліч коренів, його задовольняє довільне значення змінної х.
Приклад 1
Розв'язати рівняння |x-2|=5.
Згідно з означенням модуля необхідно розглянути два випадки:
x-2≥0, тоді |x-2|=x-2,
x-2<0, тоді |x-2|=-(x-2)=2-x.
Отже отримаємо такі системи
Відповідь: x=7, x=-3.
Два вирази, відповідні числові значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, називаються тотожно рівними або тотожними (тотожний - identical).
Вправи
1. Визначити, які з рівностей тотожності:
а) a+3=3+a;
б) xy=yx;
в) b+3=5;
г) 3(a+b)=3a+3;
д) 1+m=9;
е) (a+b)2=a2+2ab+b2.
2. При яких значеннях m рівняння не має розв'язків:
| а) 2x=5-mx; | в) mx=4x+12; |
| б) mx-6=3x; | г) 2mx+3=2m-x. |
3. Визначити, які з рівнянь не мають розв'язків і які рівняння мають безліч розв'язків:
| а) 2x+1=2x+3; г) 5(x-2)=5x-10; | ||
| б) 5x-15-3x-6=2x-25; | ||
| в) 4x-3-3x-4=x-7; | д) | 
|
4. Визначити чи рівносильні рівняння:
а) 5x+1=2 i 10x+2=4;
б) 5x+4=9 i 2x-1=1;
в) 2x-1=4 i x+5=7;
г) x+1=5 i 4x-3=2;
5. Розв'язати рівняння:
6. Розв'язати рівняння:
| а) | |x|-1=5; | е) | |x+1|+|x-2|=3; |
| б) | |2x-3|=5; | є) | |x|+|x+1|=2; |
| в) | |x-8|=x-8 | ж) | |x|+|x+2|+|2-x|=x+1; |
| г) |  | з) | < |
| д) | 2-x=|3x-1| |
| 7. Дріб |  | дорівнює 4 при y=4. При якому значенні y даний дріб буде дорівнювати 1. |
8. Учень задумав число. Якщо від нього відняти 7 і результат поділити на 3, то отримаємо 5. Яке число задумав учень?
9. Сума двох чисел дорівнює 13,6, а різниця 1,6. Знайти ці числа.
10. Сума двох чисел дорівнює 105, їх відношення 1 : 2. Знайти ці числа.
11. Батько в 5 раз старший від сина, а син на 32 роки молодший від батька. Скільки років кожному з них?
12. Мотузку завдовжки 25 м розрізали на дві частини, одна з яких на 50 % довша від другої. Знайти довжини цих частин мотузки.
13. У трьох кошиках 54 кг яблук. У першому кошику на 12 кг менше, ніж у другому, а в третьому - вдвічі більше, ніж у першому. Скільки кілограмів яблук у кожному кошику?
14. Катер у стоячій воді йде зі швидкістю 20 км/год. Швидкість течії річки 2 км/год. Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо рейс туди й назад катер здійснює за 5 год.
|  |
 |