Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax2+bx+c=0, де x - змінна, а a,b,c - коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 .
Якщо коефіцієнт b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним (неповне квадратне рівняння - pure quadratic). Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax2=0;
2) ax2=bx=0;
3) ax2+c=0.
Рівняння ax2=0 має один корінь x=0.
Рівняння виду ax2=bx=0 рівносильне рівнянню x(ax+b)=0 і завжди має два корені: x=0 i x=-b/a.
Квадратне рівняння виду ax2+c=0 рівносильне рівнянню x2=-c/a.
| Якщо -c/a>0, воно має два розв'язки |  | , якщо -c/a<0 - рівняння не має жодного розв'язку. |
Приклад 1
Знайти корені рівняння 2x2-18=0.
Розв'язання
2x2-18=0;
2x2=18;
x2=9;
| x12=± |  |
Відповідь: x1=3, x2=-3.
Дискримінантом (дискримінант - discriminant) рівняння ax2+bx+c=0 називають вираз D=b2-4ac.
Якщо D>0 рівняння ax2+bx+c=0 має два розв'язки, які знаходяться за формулами
Якщо D=0 рівняння ax2+bx+c=0 має один розв'язок, який знаходиться за формулою
Якщо D<0 рівняння ax2+bx+c=0 не має жодного розв'язку.
Приклад 2
Знайти корені рівняння x2+4x-21=0.
Розв'язання
D=42-4·1·(-21)=16+84=100>0.
x1=3, x2=-7.
Відповідь: x1=3, x2=-7.
Квадратне рівняння називають зведеним (зведене квадратне рів-няння - reduced quadratic), якщо коефіцієнт a дорівнює одиниці: x2+px+q=0.
Якщо зведене квадратне рівняння x2+px+q=0 має два корені, то їх сума дорівнює коефіцієнту p рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток - вільному члену q:
x1+x2=-p;
x1x2=q,
де x1,x2 - розв'язки рівняння x2+px+q=0.
Вправи
1. Розв'язати рівняння:
2. Розв'язати рівняння введенням нової змінної:
3. Скласти рівняння за заданими коренями:
4. Розкласти на множники такі тричлени:
а) x2-4x+3;
б) a2-29a+198;
в) 5y2-2by-35b2.
5. Скоротити дроби:
6. Розв'язати рівняння:
7. Розкласти на множники многочлени:
а) x4-5x2+4;
б) x4-8x2+7;
в) x4-(1+ab)x2+ab.
8. Знайти два числа, сума яких дорівнює 61, а добуток 900.
9. Добуток двох послідовних цілих чисел більший від їх суми на 239. Знайти ці числа.
10. Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел більший від суми їх квадратів на 264. Знайти ці числа.
11. Знайти три послідовні цілі числа, сума квадратів яких дорівнює 434.
|  |
 |